Лента мебиуса из дерева. Что такое лента Мебиуса? Лента Мебиуса - загадка современности. Лента Мёбиуса – кольцо с одной поверхностью

Главной особенностью ленты Мебиуса является то, что у нее всего одна сторона. Это чудесное свойство послужило поводом для сюжетов множества фантастических рассказов. Один из них описывал случай, произошедший в Нью-Йоркском метро, где во времени целый поезд, который отправился в путь, замкнутый в ленту Мебиуса. В рассказе другого писателя Артура Кларка «Стена Мрака» главный герой совершает путешествие по планете, которая изогнута в виде ленты Мебиуса.

Помимо фантастических рассказов, лента Мебиуса встречается в различных направлениях науки и искусства. Этот вдохновлял художников и скульпторов на создание удивительных творений. Одним из художников, особенно любивших его и посвятивших этому математическому объекту несколько литографий, был Эшер. На одной из них изображены муравьи, ползающие по поверхности ленты Мебиуса.

Лента Мебиуса применяется во многих изобретениях, появившихся в результате тщательного изучения свойств односторонней поверхности. Ее форму повторяют абразивные ремни для заточки инструмента, ременная передача, красящая лента в печатающих устройствах.

Магнитофонная лента, которая расположена в кассете как лента Мебиуса, будет проигрываться в 2 раза дольше. Несколько десятилетий назад необычной нашли новое – она превратилась в удивительную пружину. Как известно, обычная взведенная пружина всегда срабатывает в противоположном направлении. Использование открытия Мебиуса позволило создать пружину, не меняющую направления срабатывания. Подобный механизм находит свое применение и в устройстве стабилизатора штурвала рулевого привода, обеспечивая возврат в исходное положение рулевого колеса. Это важно в случае, когда отсутствует обратная связь между управляемыми элементами и рулем.

Форма ленты Мебиуса использовалась и в устройстве ленточного конвейера. Это позволяло работать ему намного дольше, так как в этом случае вся поверхность ленты изнашивалась равномерно.

Существует гипотеза о том, что спираль ДНК также имеет фрагмент ленты Мебиуса, в связи с чем генетический код сложен для восприятия и расшифровки. Кроме того, подобная структура логично объясняет причину биологической – замыкающаяся сама на себя спираль приводит к самоуничтожению.

Ученые-физики утверждают, что в основе всех оптических законов лежит принцип ленты Мебиуса. К примеру, отражение в зеркале является своеобразным переносом во времени, так как человек видит своего зеркального двойника перед собой. Математики сравнивают ленту Мебиуса со знаком бесконечности.

Философы и астрономы, историки и психологи – все они применяют в своих гипотезах небезызвестную ленту Мебиуса. Например, Альберт Эйнштейн считал, что замкнута в виде кольца, подобно ленте Мебиуса, а философами строятся целые теории, основанные на удивительных свойствах этого математического объекта.

Лента Мёбиуса (петля́ Мёбиуса, лист Мёбиуса) — простая с виду фигура, но математик сказал бы, что это двумерная поверхность с удивительными свойствами: у неё только одна сторона и один край, в отличие от обычного кольца, которое можно свернуть из той же полоски, что и ленту Мёбиуса, но у него будет две стороны и два края. В этом легко убедиться, если нарисовать линию посередине ленты, не отрывая карандаш от бумаги, пока не вернётесь в исходную точку. Удивительно, но факт: за счёт полуоборота полоски её верхний и нижний края объединились в одну непрерывную линию, а две стороны превратились в единое целое и стали одной стороной. И вот результат: попасть из одной точки ленты Мёбиуса в любую другую можно, не переходя через край.

Бег по ленте Мёбиуса

Для стороннего наблюдателя путешествие по ленте Мёбиуса представляет собой «бег по кругу», полный неожиданностей. Его наглядно изобразил голландский художник-график Мауриц Эшер (1898—1972). На картине «Лента Мёбиуса II» в роли бегущих — муравьи. Проследив за их движением, можно сделать интересное открытие. Совершив один оборот по ленте, каждый муравей окажется в исходной точке, но уже в положении антипода, — зрительно он будет «по ту сторону» ленты вниз головой. А что произойдёт с двумерным существом, движущимся по ленте Мёбиуса? Обойдя поверхность, оно превратится в своё зеркальное отражение (это легко представить, если считать ленту прозрачной). Чтобы стать самим собой, двумерному существу придётся сделать ещё один круг. Вот и муравью нужно дважды пройти по ленте Мёбиуса, чтобы вернуться в начальное положение.

Научный курьез или полезное открытие

Ленту Мёбиуса часто называют математическим курьёзом. Да и само её появление приписывают случаю. По легенде, ленту придумал один немецкий учёный, когда увидел на горничной неправильно повязанный шейный платок. Это был, известный математик и астроном, ученик Карла Фридриха Гаусса. Одностороннюю поверхность с единственным краем он описал ещё в 1858 году, но статья не была опубликована при его жизни. В том же году независимо от Мёбиуса аналогичное открытие сделал Иоганн Листинг, ещё один ученик Гаусса.

Ленту всё же назвали в честь Мёбиуса. Она стала одним из первых объектов топологии — науки, изучающей наиболее общие свойства фигур, а именно такие, какие сохраняются при непрерывных (без разрезов и склеек) преобразованиях: растяжении, сдавливании, изгибании, скручивании и пр. Эти преобразования напоминают деформации фигур из резины, поэтому топологию иначе называют «резиновой геометрией». Отдельные топологические задачи решал ещё в XVIII веке Леонард Эйлер. Начало новой области математики положила работа Листинга «Предварительные исследования по топологии» (1847) — первый систематический труд по этой науке. Он же придумал термин «топология» (от греческих слов τόπος — место и λόγος — учение).

Ленту Мёбиуса можно было бы считать научным курьёзом, очередной причудой математиков, если бы она не нашла практического применения и не вдохновляла людей искусства. Её не раз изображали художники, ей ставили памятники скульпторы и посвящали свои творения писатели. Эта необычная поверхность приглянулась архитекторам, дизайнерам, ювелирам и даже изготовителям одежды и мебели. На неё обратили внимание изобретатели, конструкторы, инженеры (например, ещё в 1920-е годы были запатентованы аудио- и киноплёнки в форме ленты Мёбиуса, позволяющие удвоить продолжительность записи). Но чаще других с этой лентой имеют дело фокусники: их привлекают необычные свойства, проявляющиеся при её разрезании.Так, если разрезать ленту Мёбиуса по средней линии, она не распадётся на две части, как можно ожидать. Из неё получится более узкая и длинная двусторонняя лента, перекрученная дважды (подобную форму имеет конструкция аттракциона «Американские горки»). А вот «кулинарный фокус»: пирожные в виде ленты Мёбиуса покажутся вкуснее обычных, ведь на них можно намазать в два раза больше крема! Кроме того, есть интересные архитектурные проекты зданий, выполненные «в стиле ленты Мёбиуса». Пока они существуют только на бумаге, но, хочется верить, непременно будут реализованы.

«Двусмысленное» положение

Своими свойствами лента Мёбиуса в самом деле напоминает объект из Зазеркалья. Да и сама она, будучи асимметричной фигурой, имеет зеркального двойника. Отправим прогуляться вдоль ленты отпечаток правой ступни и вскоре обнаружим, что домой возвратится отпечаток левой ступни. Забавно, правда? И когда только «правое» успело стать «левым»? «Вмонтируем» в ленту двумерные часы и заставим их совершить по ней полный оборот. Взглянув на часы, мы увидим, что стрелки на циферблате движутся с той же скоростью, но в обратную сторону! И какое же из двух направлений движения правильное?

Пока вы думаете над ответом, замечу, что математик предложил бы изящный выход даже из этого «двусмысленного» положения. Нужно, чтобы, во-первых, часы всегда показывали одно и то же время, а во-вторых, стрелки на циферблате были в положении, которое сохранилось бы при зеркальном отражении, например стояли вертикально, образуя развёрнутый угол.

Ну что, проверим ответ? На самом деле на ленте Мёбиуса нельзя установить определённое направление вращения. Одно и то же движение можно воспринимать и как поворот по часовой стрелке, и как поворот в противоположном направлении. Когда произвольно выбранная на ленте Мёбиуса точка обходит её, одно направление непрерывно переходит в другое. При этом «правое» неуловимо сменяется «левым». Двумерное существо никаких изменений в себе не заметит. Зато их увидят другие такие же существа и, конечно, мы, наблюдающие за происходящим из другого измерения. Вот такая она непредсказуемая, односторонняя поверхность Мёбиуса.

Берем бумажную ленту АВСD. Прикладываем ее концы АВ и СD друг к другу и склеиваем. Но не как попало, а так, чтобы точка, А совпала с точкой D, а точка B с точкой С. Получим такое перекрученное кольцо . И задаемся вопросом: сколько сторон у этого куска бумаги? Две, как у любого другого? А ничего подобного. У него ОДНА сторона. Не верите? Хотите — проверьте: попробуйте закрасить это кольцо с одной стороны . Красим, не отрываемся, на другую сторону не переходим. Красим… Закрасили? А где же вторая, чистая сторона? Нету? Ну то-то.

Теперь второй вопрос. Что будет, если разрезать обычный лист бумаги? Конечно же, два обычных листа бумаги. Точнее, две половинки листа. А что случится, если разрезать вдоль посередине это кольцо (это и есть лист Мёбиуса, или лента Мёбиуса) по всей длине? Два кольца половинной ширины? А ничего подобного. А что? Не скажу. Разрежьте сами.

Разрезали? Отлично. Теперь сделайте новый лист Мёбиуса и скажите, что будет, если разрезать его вдоль, но не посередине, а ближе к одному краю? То же самое? А ничего подобного. А если на три части? Три ленты? А ничего подо… И так далее. Исследуйте дальше эту поразительную (и тем не менее совершенно реальную) одностороннюю поверхность, и вы получите море удовольствия. И уж это всяко успокаивает расстроенные форумными спорами нервы, уверяю вас. Что может быть пользительнее Чистого Знания?

Лист Мёбиуса — один из объектов области математики под названием «топология» (по-другому — «геометрия положений»). Удивительные свойства листа Мёбиуса — он имеет один край, одну сторону , — не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер. Изучением таких свойств занимается топология. В евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые.

А почитать подробнее можно в прекрасной книге «Волшебный двурог» Сергея Павловича Боброва, глава 8 . Каковую книгу можно скачать (или ). Вот только формат файлов там особый: DjVu, а что делать, чтоб его открыть, написано , и ничего сложного там нет. Устанавливается читалка Дежавю и открывает эти файлы в формате, похожем на формат pdf, только они не такие громоздкие. Но с картинками! Хотя это книга в общем-то детская, но она в то же время совсем не простая, а написана очень здорово, живо и увлекательно. Дети ее читают с упоением, а вот взрослым она может оказаться не по зубам! Поэтому давайте, давайте ее детям, разумеется не детсадовцам, а классе так в 6−7−8. Но не позже. Это веселая, добрая книга, и в то же время грандиозная пища для ума!

Лента Мёбиуса была обнаружена немецким математиком Августом Фердинандом Мёбиусом в 1858 г. Август Фердинанд Мёбиус — немецкий геометр, профессор Лейпцигского университета первой половины XIX века. До него считалось, что любая поверхность (например, лист бумаги) имеет две стороны. Мёбиус сделал поразительное открытие — получил поверхность, которая имеет лишь одну сторону.
Говорят, что придумал свою ленту Август Фердинанд Мёбиус, когда наблюдал за горничной, которая надевала на шею шарф.

Но лента Мёбиуса не только упражнение для разума, она и вполне практически применяется. В виде ленты Мёбиуса делают полосу ленточного конвейера, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивается. Еще применяются ленты Мёбиуса в системах записи на непрерывную плёнку (чтобы удвоить время записи), в матричных принтерах красящая лента также имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности. А может быть, и еще где-нибудь.

Роскошную ленту Мебиуса изобразил на картине неистощимый на выдумку Морис Эшер.

Лента Мебиуса, которую также называют петлей, поверхностью или листом, – это объект изучения такой математической дисциплины, как топология, исследующей общие свойства фигур, сохраняющихся при таких непрерывных преобразованиях, как скручивание, растяжение, сжатие, изгибание и других, не связанных с нарушением целостности. Удивительной и неповторимой особенностью такой ленты является то, что он имеет всего одну сторону и край и никак не связаны с ее расположением в пространстве.

Лист Мебиуса является топологическим, то есть непрерывным объектом с простейшей односторонней поверхностью с границей в обычном Евклидовом пространстве (3-мерном), где возможно из одной точки такой поверхности, не пересекая края, попасть в любую другую.

Кто и когда ее открыл?

Такой непростой объект, как лента Мебиуса, был и открыт довольно необычно. Прежде всего отметим, что два математика, абсолютно не связанные между собой в исследованиях, открыли ее одновременно – в 1858 году. Еще одним интересным фактом является то, что оба этих ученых в разное время являлись учениками одного и того же великого математика - Иоганна Карла Фридриха Гаусса. Так, вплоть до 1858 года считалось, что любая поверхность обязана иметь две стороны. Однако Иоганн Бенедикт Листинг и Август Фердинанд Мебиус открыли геометрический объект, у которого была всего одна сторона, и описывают его свойства. Лента была названа в честь Мебиуса, а вот отцом-основателем «резиновой геометрии» топологи считают Листинга и его труд «Предварительные исследования по топологии».

Свойства

Ленте Мебиуса присущи следующие свойства, не меняющиеся при ее сжимании, разрезании вдоль или сминании:

1. Наличие одной стороны. А. Мебиус в своем труде «Об объеме многогранников» описал геометрическую поверхность, названную затем в его честь, обладающую всего одной стороной. Проверить это довольно просто: берем ленту или лист Мебиуса и стараемся закрасить внутреннюю сторону одним цветом, а внешнюю – другим. Не суть важно, в каком месте и направлении было начато окрашивание, вся фигура будет закрашена одним цветом.

2. Непрерывность выражается в том, что любую точку этой геометрической фигуры можно соединить с любой другой ее точкой, не пересекая границы поверхности Мебиуса.

3. Связность, или двухмерность, заключается в том, что при разрезании ленты вдоль, из нее не получится несколько разных фигур, и она остается цельной.

4. В ней отсутствует такое важное свойство, как ориентированность. Это значит, что человек, идущий по этой фигуре, вернется к началу своего пути, но только в зеркальном отражении самого себя. Таким образом, бесконечная лента Мебиуса может привести к вечному путешествию.

5. Особый хроматический номер, показывающий, какое максимально возможное число областей на поверхности Мебиуса, можно создать так, чтобы у любой из них была общая граница со всеми другими. Лента Мебиуса имеет хроматический номер – 6, а вот кольцо из бумаги – 5.

Научное использование

Сегодня лист Мебиуса и его свойства широко применяются в науке, служа основой для построения новых гипотез и теорий, проведения исследований и экспериментов, создания новых механизмов и устройств.

Так, существует гипотеза, согласно которой Вселенная - это огромнейшая петля Мебиуса. Косвенно об этом свидетельствует и теория относительности Эйнштейна, согласно которой даже полетевший прямо корабль может вернуться в ту же временную и пространственную точку, откуда стартовал.

Другая теория рассматривает ДНК как часть поверхности Мебиуса, что объясняет сложности с прочтением и расшифровкой генетического кода. Кроме всего прочего, такая структура дает логичное объяснение биологической смерти – замкнутая на самой себе спираль приводит к самоуничтожению объекта.

По мнению физиков, многие оптические законы основываются на свойствах листа Мебиуса. Так, например, зеркальное отражение - это особый перенос во времени и человек видит перед собой своего зеркального двойника.

Реализация на практике

В различных отраслях промышленности лента Мебиуса применение нашла уже давно. Великий изобретатель Никола Тесла в начале века изобрел резистор Мебиуса, состоящий из двух скрученных на 1800 проводящих поверхностей, который может противостоять потоку электрического тока без создания электромагнитных помех.

На основе исследований поверхности ленты Мебиуса и ее свойств было создано множество устройств и приборов. Ее форму повторяют при создании полосы ленточного конвейера и красящей ленты в печатных устройствах, абразивных ремней для заточки инструментов и автоматической передачи. Это позволяет значительно увеличить срок их службы, так как изнашивание происходит более равномерно.

Не так давно удивительные особенности листа Мебиуса позволили создать пружину, которая, в отличие от обычных, срабатывающих в противоположном направлении, не меняет направление срабатывания. Применяется она в стабилизаторе рулевого привода штурвала, обеспечивая возврат рулевого колеса в исходное положение.

Кроме того, знак лента Мебиуса используется в разнообразных торговых марках и логотипах. Самый известный из них - это международный символ вторичной переработки. Его проставляют на упаковках товаров либо пригодных для последующей переработки, либо сделанных из переработанных ресурсов.

Источник творческого вдохновения

Лента Мебиуса и ее свойства легли в основу творчества многих художников, писателей, скульпторов и кинематографистов. Самый известный художник, использовавший в таких своих работах, как «Лента Мебиуса II (Красные муравьи)», «Всадники» и «Узлы», ленту и ее особенности - Мауриц Корнелис Эшер.

Листы Мебиуса, или, как их еще называют, поверхности минимальной энергии, стали источником вдохновения для математических художников и скульпторов, например, Брента Коллинза или Макса Билла. Самый известный памятник ленте Мебиуса установлен у входа в вашингтонский Музей истории и техники.

Русские художники также не остались в стороне от этой темы и создали свои работы. Скульптуры «Лента Мебиуса» установлены в Москве и Екатеринбурге.

Литература и топология

Необычные свойства поверхностей Мебиуса вдохновили многих писателей на создание фантастических и сюрреалистических произведений. Петля Мебиуса играет важную роль в романе Р. Желязны «Двери в песке» и служит как средство перемещения сквозь пространство и время для главного героя романа «Некроскоп» Б. Ламли.

Фигурирует она и в рассказах «Стена темноты» Артура Кларка, «На ленте Мебиуса» М. Клифтона и «Лист Мебиус» А. Дж. Дейча. По мотивам последнего режиссером Густаво Москера был снята фантастическая кинокартина «Мебиус».

Делаем сами, своими руками!

Если вас заинтересовала лента Мебиуса, как сделать ее модель, вам подскажет небольшая инструкция:

1. Для изготовления ее модели потребуются:

Лист обычной бумаги;

Ножницы;

Линейка.

2. Отрезаем полосу от листа бумаги так, чтобы ее ширина была в 5-6 раз меньше длины.

3. Полученную бумажную полоску раскладываем на ровной поверхности. Один конец придерживаем рукой, а другой поворачиваем на 1800 так, чтобы полоса перекрутилась и изнанка стала лицевой стороной.

4. Склеиваем концы перекрученной полосы так, как показано на рисунке.

Лента Мебиуса готова.

5. Возьмите ручку или маркер и посередине ленты начните рисовать дорожку. Если вы сделали все правильно, то вернетесь в ту же точку, откуда начали чертить линию.

Для того чтобы получить наглядное подтверждение тому, что лента Мебиуса - односторонний объект, карандашом или ручкой попробуйте закрасить какую-либо ее сторону. Через некоторое время вы увидите, что закрасили ее полностью.опубликовано econet.ru

Лента Мебиуса - простая, но удивительная штука. Сделать ее можно за пару секунд, а сюрпризов, закономерностей и свойств у этого явления - масса. Чтобы это было понятнее на практике, возьмите обычную полоску бумаги, клей, соедините ее концы. Но обязательно так, чтобы один конец оказался перевернут относительно другого на пол-оборота. Вот и готова знаменитая лента Мебиуса.

О получившейся загадочной поверхности можно говорить бесконечно. Задайте себе вопрос о том, сколько поверхностей у бумажного кольца. Две? А вот и нет - одна. Проверить это очень просто. Возьмите фломастер или карандаш и попробуйте закрасить одну из сторон ленты, не отрываясь и не переходя на другую сторону. Получилось? А где же незакрашенная сторона? То-то и оно…

Название ленте дал ее изобретатель: Август Фердинанд Мебиус, профессор университета в Лейпциге. Он посвятил научной работе свою долгую и плодотворную жизнь (а это 78 лет), а сохранял он ясность ума до самого ухода. В свои 75 лет профессор описал уникальные свойства односторонней поверхности с кажущейся двуслойностью. С тех пор лучшие умы геометрии, физики и даже духовности исследовали этот объект вдоль и поперек.

Вы самостоятельно можете провести несколько экспериментов, взяв в руки ленту Мебиуса. Попробуйте разрезать ее вдоль, проведя предварительно среднюю линию по всей поверхности. Как вы думаете, что получится? Два кольца меньшей ширины? Снова неверно - одно! Вдвое длиннее предыдущего, но перекрученное уже дважды. Вот у него-то как раз уже будут две поверхности, а не одна, как в первом случае. Такую завитушку называют Афганской лентой, она тоже широко известна исследователям. Кстати, в духовности этот эффект называют символом дуальности и трактуют иллюзорным восприятием единого.

А если снова провести продольную линию, но не посередине, а ближе к краю на треть ширины ленты? Разрежьте полученное кольцо, и у вас в руках их окажется уже два: лента Мебиуса и Афганская лента, причем непостижимым образом они будут сцеплены друг с другом.

Но это далеко не все сюрпризы. Попробуйте при склеивании ленты в кольцо взять не одну, а две бумажные полоски. А потом три или даже четыре. Гарантирую: результат вас удивит еще больше!

Любопытный опыт можно поставить и гипотетически. Взяв двойную ленту Мебиуса (то есть склеенную из двух полосок) и просунув между ними палец (карандаш, деревянную палочку - что угодно), мы сможем водить им между лентами бесконечно, доказав тем самым, что фигура состоит из двух отдельных частей. А теперь представьте себе, что между этими лентами ползает муха. Нижняя полоска для нее будет «полом», верхняя - «потолком», и так до бесконечности.

Но на деле все совсем не так просто, как кажется. Ведь если поставить метку начала путешествия мухи «на полу», то когда насекомое сделает круг, эта самая метка окажется уже «на потолке». И чтобы снова перейти «на пол», нужно будет совершить еще один круг.

Представьте, что муха ползет по улице. Справа от нее находятся дома под четными номерами, а слева, соответственно, под нечетными. Совершая прогулку, в какой-то момент наша путешественница удивленно заметит, что нечетные номера идут уже справа, а четные - слева! Страшно представить такую ситуацию на наших реальных дорогах с правосторонним движением, ведь скоро придется столкнуться с другими прогуливающимися «лоб-в-лоб». Вот такая она - лента Мебиуса…

Применение этой и других закономерностей нашлось не только в гипотетической, но и в реальной жизни. Например, на основе ленты созданы ремни в печатных устройствах, автоматическая передача, абразивное кольцо в затачивающих механизмах и многое другое, о чем вы даже не подозреваете. Поистине, лента Мебиуса - загадка, которую можно изучать до бесконечности!