Конспект урока гражданские правоотношения. Конспект и презентация к уроку обществознания "гражданские правоотношения". в качестве объектов правоотношений рассматривает
Понятие симметрии
проходит через всю историю человечества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания. Возникло оно в связи с изучением живого организма, а именно человека. И употреблялось скульпторами ещё в 5 веке до нашей эры. Слово “симметрия
” греческое, оно означает “соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей
”.
Его широко используют все без исключения направления современной науки. Немецкий математик Герман Вейль сказал: “Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство ”. Его деятельность приходится на первую половину ХХ века. Именно он сформулировал определение симметрии, установил по каким признакам усмотреть наличие или, наоборот, отсутствие симметрии в том или ином случае. Таким образом, математически строгое представление сформировалось сравнительно недавно – в начале ХХ века.
1.1. Осевая симметрия
Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему (Рисунок 2.1). Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе.
Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой a также принадлежит этой фигуре (Рисунок 2.2).
Прямая а называется осью симметрии фигуры.
Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.
Осевой симметрией обладают такие геометрические фигуры как угол, равнобедренный треугольник, прямоугольник, ромб (Рисунок 2.3).
Фигура может иметь не одну ось симметрии. У прямоугольника их две, у квадрата – четыре, у равностороннего треугольника – три, у круга – любая прямая, проходящая через его центр.
Если присмотреться к буквам алфавита (Рисунок 2.4)., то и среди них можно найти, имеющие горизонтальную или вертикальную, а иногда и обе оси симметрии. Объекты, имеющие оси симметрии достаточно часто встречаются в живой и неживой природе.
Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника, разносторонний треугольник.
В своей деятельности человек создаёт много объектов (в том числе и орнаменты), имеющих несколько осей симметрии.
1.2 Центральная симметрия
Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О - середина отрезка АА1. Точка О считается симметричной самой себе (Рисунок 2.5).
Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре .
Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является окружность и параллелограмм (Рисунок 2.6).
Точка О называется центром симметрии фигуры. В подобных случаях фигура обладает центральной симметрией. Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма - точка пересечения его диагоналей.
Прямая также обладает центральной симметрией, однако в отличие от окружности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии у прямой их бесконечно много - любая точка прямой является её центром симметрии. Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник.
1.3. Поворотная симметрия
Предположим, что объект совмещается сам с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол, равный 360°/n (или кратный этой величине), где n = 2, 3, 4, … В этом случае о поворотной симметрии, а указанную ось называют поворотной осью n-го порядка.
Рассмотрим примеры со всеми известными буквами «И » и «Ф ». Что касается буквы «И », то у нее есть так называемая поворотная симметрия. Если повернуть букву «И » на 180° вокруг оси, перпендикулярной к плоскости буквы и проходящей через ее центр, то буква совместится сама с собой.
Иными словами, буква «И » симметрична относительно поворота на 180°. Заметим, что поворотной симметрией обладает также буква «Ф ».
На рисунке 2.7. даны примеры простых объектов с поворотными осями разного порядка – от 2-го до 5-го.
Научно-практическая конференция
МОУ «Средняя общеобразовательная школа № 23»
города Вологды
секция: естественно - научная
проектно-исследовательская работа
ВИДЫ СИММЕТРИИ
Выполнила работу ученица 8 «а» класса
Кренёва Маргарита
Руководитель: учитель математики высшей
2014 год
Структура проекта:
1. Введение.
2. Цели и задачи проекта.
3. Виды симметрии:
3.1. Центральная симметрия;
3.2. Осевая симметрия;
3.3. Зеркальная симметрия (симметрия относительно плоскости);
3.4. Поворотная симметрия;
3.5. Переносная симметрия.
4. Выводы.
Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство.
Г. Вейль
Введение.
Тема моей работы была выбрана после изучения раздела «Осевая и центральная симметрия» в курсе «Геометрия 8 класса». Меня очень заинтересовала эта тема. Я захотела узнать: какие виды симметрии существуют, чем они отличаются друг от друга, каковы принципы построения симметричных фигур в каждом из видов.
Цель работы : Знакомство с различными видами симметрии.
Задачи:
Изучить литературу по данному вопросу.
Обобщить и систематизировать изученный материал.
Подготовить презентацию.
В древности слово «СИММЕТРИЯ» употреблялось в значении «гармония», «красота». В переводе с греческого это слово означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей чего-либо по противоположным сторонам от точки, прямой или плоскости.
Существуют две группы симметрий.
К первой группе относится симметрия положений, форм, структур. Это та симметрия, которую можно непосредственно видеть. Она может быть названа геометрической симметрией.
Вторая группа характеризует симметрию физических явлений и законов природы. Эта симметрия лежит в самой основе естественнонаучной картины мира: ее можно назвать физической симметрией.
Я остановлюсь на изучении геометрической симметрии .
В свою очередь, геометрической симметрии существует тоже несколько видов: центральная, осевая, зеркальная (симметрия относительно плоскости) радиальная (или поворотная), переносная и другие. Я рассмотрю сегодня 5 видов симметрии.
Центральная симметрия
Две точки А и А 1 называются симметричными относительно точки О, если они лежат на прямой, проходящей через т О и находятся по разные стороны от неё на одинаковом расстоянии. Точка О называется центром симметрии.
Фигура называется симметричной относительно точки О , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры, говорят, что фигура обладает центральной симметрией.
Примерами фигур, обладающими центральной симметрией является окружность и параллелограмм.
Фигуры, изображённые на слайде симметричны, относительно некоторой точки
2. Осевая симметрия
Две точки X и Y называются симметричными относительно прямой t , если эта прямая проходит чрез середину отрезка ХУ и перпендикулярна к нему. Также следует сказать, что каждая точка прямой t считается симметричной сама себе.
Прямая t – ось симметрии.
Фигура называется симметричной относительно прямой t , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой t также принадлежит этой фигуре.
Прямая t называется осью симметрии фигуры, говорят, что фигура обладает осевой симметрией.
Осевой симметрией обладают неразвёрнутый угол, равнобедренный и равносторонний треугольники, прямоугольник и ромб, буквы (смотри презентацию).
Зеркальная симметрия (симметрия относительно плоскости)
Две точки Р 1 и Р называются симметричными относительно плоскости а если они лежат на прямой, перпендикулярной плоскости а, и находятся от неё на одинаковом расстоянии
Зеркальная симметрия хорошо знакома каждому человеку. Она связывает любой предмет и его отражение в плоском зеркале. Говорят, что одна фигура зеркально симметрична другой.
На плоскости фигурой с бесчисленным множеством осей симметрии был круг. В пространстве бесчисленное множество плоскостей симметрии имеет шар.
Но если круг является единственным в своем роде, то в трехмерном мире имеется целый ряд тел, обладающих бесконечным множеством плоскостей симметрии: прямой цилиндр с кругом в основании, конус с круговым основанием, шар.
Легко установить, что каждая симметричная плоская фигура может быть с помощью зеркала совмещена сама с собой. Достойно удивления, что такие сложные фигуры, как пятиконечная звезда или равносторонний пятиугольник, тоже симметричны. Как это вытекает из числа осей, они отличаются именно высокой симметрией. И наоборот: не так просто понять, почему такая, казалось бы, правильная фигура, как косоугольный параллелограмм, несимметрична.
4. П оворотная симметрия (или радиальная симметрия)
Поворотная симметрия - это симметрия, сохраняющаяся форму предмета при повороте вокруг некоторой оси на угол, равный 360°/ n (или кратный этой величине), где n = 2, 3, 4, … Указанную ось называют поворотной осью n -го порядка.
При п=2 все точки фигуры поворачиваются на угол 180 0 ( 360 0 /2 = 180 0 )вокруг оси, при этом форма фигуры сохраняется, т.е. каждая точка фигуры переходит в точку той же фигуры(фигура преобразуется сама в себя). Ось называют осью второго порядка.
На рисунке 2 показана ось третьего порядка, на рисунке 3 – 4 порядка, на рисунке 4 - 5-го порядка.
Предмет может иметь более одной поворотной оси: рис.1 – 3оси поворота, рис.2 -4 оси, рис 3 – 5 осей, рис. 4 – только 1 ось
Всем известные буквы «И» и «Ф» обладают поворотной симметрией Если повернуть букву «И» на 180° вокруг оси, перпендикулярной к плоскости буквы и проходящей через ее центр, то буква совместится сама с собой. Иными словами, буква «И» симметрична относительно поворота на 180°, 180°= 360°: 2, n =2 , значит она обладает симметрией второго порядка.
Заметим, что поворотной симметрией второго порядка обладает также буква «Ф».
Кроме того буква и имеет центр симметрии, а буква Ф ось симметрии
Вернемся к примерам из жизни: стакан, конусообразный фунтик с мороженым, кусочек проволоки, труба.
Если мы повнимательней присмотримся к этим телам, то заметим, что все они, так или иначе состоят из круга, через бесконечное множество осей симметрии которого проходит бесчисленное множество плоскостей симметрии. Большинство таких тел (их называют телами вращения) имеют, конечно, и центр симметрии (центр круга), через который проходит по меньшей мере одна поворотная, ось симметрии.
Отчетливо видна, например, ось у конуса фунтика с мороженым. Она проходит от середины круга (торчит из мороженого!) до острого конца конуса-фунтика. Совокупность элементов симметрии какого-либо тела мы воспринимаем как своего рода меру симметрии. Шар, без сомнения, в отношении симметрии является непревзойденным воплощением совершенства, идеалом. Древние греки воспринимали его как наиболее совершенное тело, а круг, естественно, как наиболее совершенную плоскую фигуру.
Для описания симметрии конкретного объекта надо указать все поворотные оси и их порядок, а также все плоскости симметрии.
Рассмотрим, например, геометрическое тело, составленное из двух одинаковых правильных четырехугольных пирамид.
Оно имеет одну поворотную ось 4-го порядка (ось АВ), четыре поворотные оси 2-го порядка (оси СЕ, DF , MP , NQ ), пять плоскостей симметрии (плоскости CDEF , AFBD , ACBE , AMBP , ANBQ ).
5 . Переносная симметрия
Ещё одним видом симметрии является переносная с имметрия.
О такой симметрии говорят тогда, когда при переносе фигуры вдоль прямой на какое-то расстояние «а» либо расстояние, кратное этой величине, она совмещается сама с собой Прямая, вдоль которой производится перенос, называется осью переноса, а расстояние «а» - элементарным переносом, периодом или шагом симметрии.
а
Периодически повторяющийся рисунок на длинной ленте называется бордюром. На практике бордюры встречаются в различных видах (настенная роспись, чугунное литье, гипсовые барельефы или керамика). Бордюры применяют маляры и художники при оформлении комнаты. Для выполнения этих орнаментов изготавливают трафарет. Передвигаем трафарет, переворачивая или не переворачивая его, обводим контур, повторяя рисунок, и получается орнамент (наглядная демонстрация).
Бордюр легко построить с помощью трафарета (исходного элемента), сдвигая или переворачивая его и повторяя рисунок. На рисунке изображены трафареты пяти видов: а ) несимметричный; б, в ) имеющие одну ось симметрии: горизонтальную или вертикальную; г ) центрально-симметричный; д ) имеющий две оси симметрии: вертикальную и горизонтальную.
Для построения бордюров используют следующие преобразования:
а
) параллельный перенос;
б
) симметрию относительно вертикальной оси;
в
) центральную симметрию;
г
) симметрию относительно горизонтальной оси.
Аналогично можно построить розетки. Для этого круг делят на n равных секторов, в одном из них выполняют образец рисунка и затем последовательно повторяют последний в остальных частях круга, поворачивая рисунок каждый раз на угол 360°/ n .
Наглядным примером применения осевой и переносной симметрии может служить забор, изображённый на фотографии.
Вывод: Таким образом, существуют различные виды симметрии, симметричные точки в каждом из этих видов симметрии строятся по определённым законам. В жизни мы повсюду встречаемся тем или иным видом симметрии, а часто у предметов, которые нас окружают, можно отметить сразу несколько видов симметрии. Это создаёт порядок, красоту и совершенство в окружающем нас мире.
ЛИТЕРАТУРА:
Справочник по элементарной математике. М.Я. Выгодский. – Издательство « Наука». – Москва 1971г. – 416стр.
Современный словарь иностранных слов. - М.: Русский язык, 1993г .
История математики в школе IX - X классы. Г.И. Глейзер. – Издательство «Просвещение». – Москва 1983г. – 351стр.
Наглядная геометрия 5 – 6 классы. И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева. – Издательство «Дрофа», Москва 2005г. – 189стр.
Энциклопедия для детей. Биология. С. Исмаилова. – Издательство «Аванта+». – Москва 1997г. – 704стр.
Урманцев Ю.А. Симметрия природы и природа симметрии - М.: Мысль arxitekt / arhkomp 2. htm , , ru.wikipedia.org/wiki/
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цели урока:
Оборудование: интерактивная доска, презентация к уроку.
План урока.
- Организационный момент.
- Повторение действий с десятичными дробями.
- Изучение нового материала, первоначальное закрепление.
- Итог урока, домашнее задание.
Ход урока
1. Организационный момент.
Сообщение о требованиях к уроку, необходимых инструментах и пособиях.
Что изучает математика в 6 классе.
2. Повторение.
1) Вспомнить правила действий с десятичными дробями, привести примеры.
2) Устный счет (используется “Математический тренажер”, 6 класс, стр. 10 , задание на ИД).
3) Письменная работа № 14, 15 по первой строчке в каждом номере (у доски 1 ученик по желанию работает на оценку).
№14 а) 2, 31+ 15, 7= 18, 01
в) 4, 327 – 2, 05 = 2, 277
д) 15, 6 + 0, 671 = 16, 271
№15 а) 91, 05 · 3, 2 = 291, 36
в) 268, 8: 5,6 = 48
д) 7, 02 · 0, 0055 = 0, 03861
3. Изучение нового материала.
Тема нашего урока “Поворот и центральная симметрия” (Слайд 1)
В геометрии рассматриваются вопросы, связанные с движением фигур. Мы сегодня познакомимся с поворотом и центральной симметрией.
1) Возьмем на плоскости точки О и А. Повернем точку А вокруг точки О на некоторый угол. Точка А перейдет в точку А 1 . (Слайд 2). Сделаем такое же построение в тетради, заполним пропуски в тексте.
При этом точка О (неподвижная точка) будет являться центром поворота, точка А – подвижная точка, а угол поворота - это угол АОА 1 . Поворот может быть как по часовой, так и против часовой стрелки.
Таким образом мы можем дать определение поворота:
Опр. Поворо"т (враще"ние) - движение, при котором по крайней мере одна точка плоскости остаётся неподвижной (щелчок мышью).
2) Рассмотрите рисунок (щелчок мышью ). Здесь также показаны повороты точек. Опишите этот рисунок и определите, на какой угол поворачивается точка в каждом случае. Для какой точки угол поворота можно определить без транспортира? Охарактеризуйте расположение начальной и конечной точек относительно центра. (Устная работа по рисунку 2 из учебника)
3) Поворот - естественный процесс, происходящий в природе, окружающем нас мире.
Рассмотрите рисунки, дайте характеристику каждому повороту. (Слайд 3, 4)
4) Выполним письменно задание №1. (Слайд 5)
Постройте образ отрезка MN= 4 см при повороте на угол 90° вокруг точки О по часовой стрелке.
(Обсуждается алгоритм выполнения поворота и поэтапно вместе с анимацией выполняется построение в тетрадях. Учитель контролирует выполнение заданий и оказывает необходимую помощь).
Сравните отрезки MN и M 1 N 1 .
5) На следующем слайде вы видите различные орнаменты (Слайд 6). Все они состоят из одинаково повторяющихся элементов. Укажите эти элементы. Обратите внимание на фрагменты орнаментов б), г), е), ж). Что их объединяет? (Каждый из них можно получить из другой части поворотом на 180° относительно некоторой точки).
6) Рассмотрим следующий поворот. (Слайд 7)
Отметим на плоскости точки О и А, проведем прямую АО. На этой прямой отложим от точки О отрезок ОА 1 , равный отрезку АО, но по другую сторону от точки О. Получим развернутый угол АОА 1 . Это значит, что точку А 1 можно получить поворотом точки А на 180° вокруг точки О. Точки А и А 1 называют симметричными относительно точки О, а точку О называют центром симметрии.
Рассмотрим рисунок желтой и красной рыбы. Они симметричны относительно точки О.
Опр. Фигуры, симметричные относительно какой-либо точки называют центрально симметричными фигурами.
Как расположены центрально-симметричные точки, относительно центра симметрии?
(Лежат на одной прямой с центром симметрии)
7) Устно №1 стр.7 рис.7. (Слайд 8). Укажите центр симметрии и какие-нибудь пары центрально-симметричных точек.
(Слайд идет в обычном режиме или рисунок выносится на интерактивную доску, чтобы можно было выполнить необходимое построение).
8) Устно (Слайд 9 ). Укажите, какие фигуры на рисунках имеют центр симметрии.
4. Итог урока.
Ответьте на вопросы:
- Как вы поняли, что такое поворот?
- Как используя поворот, получить центрально-симметричные точки?
- Как построить центрально- симметричные точки?
§ 1 Понятие поворот и центральная симметрия
Поворот (вращение) - это движение, при котором хотя бы одна точка плоскости остается неподвижной.
Давайте рассмотрим поворот стрелки часов. Стрелка на циферблате показывает на точку А. Через какое-то время она передвигается на точку А1, при этом место прикрепления стрелки к циферблату точка О остается неподвижным. Таким образом, стрелка часов совершает поворот.
В данном случае показан поворот точки А вокруг точки О. При повороте точка А переходит в точку А1.
Точка О (неподвижная точка) - центр поворота.
Точка А - подвижная точка.
Угол АОА1 - угол поворота, расстояние ОА равно расстоянию ОА1.
Поворот может быть как по часовой так и против часовой стрелки.
§ 2 Правила построения центрально-симметричных точек
Построим поворот точки В на 900 относительно точки О. Для этого, отмечаем на плоскости точки О и В на некотором расстоянии друг от друга.
Проводим луч ОВ. От луча ОВ с помощью транспортира строим угол 900. На полученном луче отмечаем точку В1 так, что ОВ = ОВ1.
Таким образом, мы построили поворот точки В в точку В1 , точка О - центр поворота, угол ВОВ1 - угол поворота.
Поработаем еще. Отметим на плоскости точку О. Проведем через точку О прямую ОС. На прямой обозначим отрезок ОС1 равный ОС, но по другую сторону от точки О. Получим развернутый угол СОС1. Это значит что точка С1 получена при помощи поворота точки С на угол 1800 с центром поворота О.
В данному случае точки С и С1 называются симметричными относительно точки О. Точка О - центр симметрии. Следовательно, поворот фигуры на 1800 с центром в точке называют центральной симметрией. А точки, которые лежат на одной прямой с центром симметрии по разные стороны и на равном расстоянии от него называют центрально-симметричными.
§ 3 Правила построения центрально-симметричных фигур
Центрально-симметричными могут быть и фигуры. Две фигуры F и F" называются центрально-симметричными относительно центра О, если каждой точке одной фигуры соответствует симметричная точка другой фигуры.
F F1
§ 4 Практическое задание
Перейдем к практическому заданию. Попробуем выполнить построение центрально-симметричных отрезков. Построим отрезок АВ. Отметим центр симметрии точку О, не принадлежащую отрезку АВ. Выполним поворот точки А в точку А1, точки В в точку В1 на 1800 относительно центра О. Соединим точки А1 и В1. Отрезки АВ и А1В1 - центрально-симметричные отрезки.
Точку, при повороте вокруг которой на 1800 фигура совпадает со своим первоначальным изображением, называют центром симметрии фигуры. А саму фигуру центрально-симметричной.
Некоторые четырёхугольники — параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат — являются центрально-симметричными фигурами. Центром симметрии для них является точка пересечения диагоналей. Центром симметрии окружности является центр этой окружности. Прямая также обладает центральной симметрией, однако в отличие от других центрально-симметричных фигур у прямой центров симметрии бесконечно много - любая точка прямой.
Итак, на этом уроке мы познакомились с понятиями «поворот» и «центральная симметрия», научились строить центрально-симметричные фигуры и выполнять поворот точки относительно центра, узнали о центрально-симметричных фигурах.
Список использованной литературы:
- Математика.6 класс: поурочные планы к учебнику И.И.Зубаревой, А.Г. Мордковича //автор-составитель Л.А. Топилина. Мнемозина 2009 г.
- Математика. 6класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. И.И.Зубарева, А.Г.Мордкович. Мнемозина, 2013 г.
Использованные изображения:
§ 1. Поворот и центральная симметрия - Учебник по Математикe 6 класс (Зубарева, Мордкович)
Краткое описание:
В этом параграфе мы переходим к изучению новой темы в геометрии: поворот и центральная симметрия. Что поможет нам разобраться в том, что такое поворот в геометрическом понимании, как поворачивать точки, отрезки или целые фигуры, а также какие точки отрезки или фигуры можно считать симметричными.
Поворотом точки можно считать движение точки во круг другой точки на плоскости, при этом другая точка остается неподвижной. Поворот можно осуществить на любое расстояние, такое расстояние измеряется в градусах, измерить его можно с помощью транспортира. Кроме точек могут перемещаться целые фигуры и рисунки. Так, мы можем наблюдать много примеров использования поворотов в реальной жизни – симметричные растения, цветы, фрукты, разрезанные пополам, строительные элементы, например, винтовые лестницы, обувь – правые и левые ботинки. Так, звезды вращаются вокруг полюса, изменяя свое положение только относительно одной точки. Для геометрического построения поворота удобно использовать циркуль и транспортир. Симметрию можно определить как одинаково отдаленное расположение точек относительно одного центра. В повседневной жизни мы часто встречаемся с симметричными предметами. Но стоит заметить, что в природе не существует идеальной симметрии, даже лицо человека не может быть идеально симметричным. Но предметы, которые мы используем для повседневной деятельности, готовки, приготовления уроков, игры, чаще всего симметричны. Интересно? Предлагаем подробнее ознакомиться с материалом параграфа в учебнике!
