Коды центров стандартизации и метрологии. Задачи федеральных органов исполнительной власти и государственных региональных центров метрологии (в составе ЦСМ). Перечень средств измерений, поверка которых осуществляется только аккредитованными в установленно

Функциональный анализ – математическая дисциплина, которая фактически является распространением линейной алгебры на бесконечномерных пространствах. Кроме того, характер вопросов, которые при этом рассматриваются, позволяет считать эту науку частью математического анализа. Предметом исследований в функциональном анализе является функционалы и операторы.
Функциональный анализ как самостоятельная дисциплина развивался на рубеже 19 и 20 века и окончательно сформировался в 20-30 гг 20 века. С одной стороны он развился под влиянием исследования конкретных классов линейных операторов – интегральных операторов и связанных с ними интегральных уравнений, с другой – под влиянием чисто внутреннего развития современной математики с ее желанием обобщить и тем самым познать истинную природу тех или иных закономерностей. Огромное влияние на развитие функционального анализа имела квантовая механика, поскольку в ней физическим величинам, измеряемых соответствуют линейные операторы над пространством состояний физической системы.
1. Понятие пространства. Самыми общими пространствами, фигурирующих в функциональном анализе является топологические векторные пространства. Так называется векторный (линейный) пространство над полем комплексных чисел (или действительных). На пространстве может быть введена метрика – действительная функция от двух аргументов, принадлежащих этому пространству, результатом которой является «расстояние» между этими элементами. Слово расстояние использовано здесь в косвенном смысле. Пространство с метрикой называется метрическим пространством. Также отличают пространства, на которых аксиоматически определена норма элемента – «длина» вектора x, | | x | |. На нормированном пространстве всегда можно ввести метрику в виде f (x, y) = | | xy | |. Также в пространстве можно определить операцию скалярного произведения которую геометрически можно интерпретировать как угол между элементами. Пространства со скалярным произведением называются унитарными. Скалярное произведение порождает норму в пространстве таким образом: | | x | | 2 = (x, x). Пространство который является полным относительно нормы порожденной скалярным произведением этого пространства называется гильбертовом пространстве.
«Измеримость» пространства – максимальное количество линейно независимых элементов в этом пространстве. Безмежновимирний пространство это пространство, в котором для любого натурального числа n существует n линейно независимых элементов.
2. Функционал – это отражение, ставящего в соответствие каждому элементу данного пространства элемент из пространства действительных или комплексных чисел. Важную роль в функциональном анализе играют понятия непрерывных функционалов и линейных функционалов. Пространство всех линейных ограниченных и всюду определенных на пространстве Х функционалов называется сопряженным к X и обозначается Х "или Х *.
3. Оператор – отображение, ставящее в соответствие элемент одного пространства элемента с другой. L (X, Y) – пространство всех линейных, непрерывных, повсюду определенных в Х операторов. Преимущественно рассматриваются случаи когда X i Y – нормированные или Гильбертовы пространства. Оператор называется сопряженным к оператору А и обозначается А * если (А х, y) = (x, A * y). Очень важным является класс самоспряжених операторов – (A x, y) = (x, A y).

ОК-1 владение культурой мышления, способность к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения, умение логически верно, аргументированно и ясно строить устную и письменную речь

ОК-2 готовность к кооперации с коллегами, работе в коллективе; знание принципов и методы организации и управления малыми коллективами; способность находить организационно-управленческие решения в нестандартных ситуациях и готов нести за них ответственность

ПК-25 способность обосновывать правильность выбранной модели, сопоставляя результаты экспериментальных данных и полученных решений

ПК-26 готовность использовать математические методы обработки, анализа и синтеза результатов профессиональных исследований

1.3. Планируемые результаты освоения дисциплины

знания: по функциональному подходу к исследованию задач системного анализа и задач управления на основе современных математических технологий, моделям и методов представления математических моделей в функциональных пространствах с операторами, сохраняющими эти пространства, а также по приложениям м етодов для решении сложных научных и инженерных задач, методам решения задач с доказательствами сходимости решений;

умения: правильно и конструктивно выбирать и примнять методы для решения инженерной и научных задач с использованием знаний в области функционального анализа, разрабатывать базы знаний, соответствующие методам и моделям функционального анализа, выбирать и использовать пакеты прикладных программ.

навыки: формализации задач, выбора и конструирования необходимых типов алгебраических структур и их использования для решения интеллектуальных задач.

2. Место дисциплины в ООП

Дисциплина «Введение в функциональный анализ» согласно федеральному ГОС направления подготовки 230400 «Информационные системы и технологии» (квалификация: бакалавр) является дисциплиной учебного цикла ().

Изучение дисциплины «Введение в функциональный анализ» базируется на результатах освоения следующих дисциплин:

Результаты изучения дисциплины «Введение в функциональный анализ» используются при изучении следующих дисциплин:

3. Распределение трудоёмкости освоения дисциплины по видам учебной работы

3.1. Виды учебной работы

Виды учебной работы

Трудоемкость

Стр. 2 из 7

01.04.2012 22:25

Лабораторные занятия

Практические занятия, семинары

в том числе аудиторные занятия в интерактивной форме

Самостоятельная работа

в том числе творческая проблемно-ориентированная самостоятельная

Экзамены (подготовка во время сессии, сдача)

Общая трудоемкость освоения дисциплины

в академических часах:

в зачетных единицах:

3.2. Формы контроля

Формы контроля

Количество

Текущий контроль

Контрольные работы (КРаб), шт.

Коллоквиумы (Кк), шт.

Расчетно графические работы (РГР), шт.

Рефераты (Реф), шт.

Курсовые проекты (КП), шт.

Курсовые работы (КР), шт.

Промежуточная аттестация

Зачёты (З), шт.

Экзамены (Э), шт.

4.1. Разделы дисциплины и виды учебной работы

Конечномерное евклидово пространство

Бесконечномерное евклидово пространство

Метрические пространства

Метрические пространства

Непрерывные операторы в метрических пространствах

Нормированные пространства

Нормированные пространства

Гильбертово пространство

Гильбертово пространство

Пространство L2

Стр. 3 из 7

01.04.2012 22:25

Rich text editor, text_content, press ALT 0 for help.

http://license.stu.neva.ru/programs/print/printprograms_code.php

		Пространство L2
		Линейные операторы
		Линейные операторы
		Итого по видам учебной работы, ач
		Итого по видам учебной работы, зет
		Общая трудоемкость освоения, ач / зет
			Темы, разделы				Результаты освоения
								дисциплины
1. Конечномерное евклидово пространство
1.1. Конечномерное евклидово пространство							Знания, умения на уровне
Понятие пространства в математике.							понятий, определений,
векторное		пространство. Норма вектора.				Скалярное	описаний, формулировок,
произведение векторов. Линейные преобразования.
Матрицы. Норма оператора линейного преобразования.
2. Бесконечномерное евклидово пространство
2.1. Бесконечномерное евклидово пространство							Знания, умения на уровне
Векторы с бесконечным множеством координат.							понятий, определений,
Пространство L2.			Сходимость		последовательности		описаний, формулировок,
векторов.		Непрерывность				скалярного
произведения. Линейные				функционалы. Линейные
операторы.
3. Метрические пространства
3.1. Метрические пространства							Знания, умения на уровне
Понятия теории множеств. Определение метрического							понятий, определений,
пространства. Сходимость в метрическом пространстве.							описаний, формулировок,
Замкнутые и открытые множества. Полные метрические
пространства. Счетные множества.

4. Непрерывные операторы в метрических пространствах

4.1. Непрерывные операторы в метрических Знания, умения на уровне

пространствах				понятий, определений,
Основные определения. Непрерывные операторы и описаний, формулировок,
функционалы.	Неподвижные		Метод умений.
последовательных приближений. Операторы сжатия.
Интегральные уравнения. Теорема Пеано.
5. Нормированные пространства
5.1. Нормированные пространства				Знания, умения на уровне
Линейные системы. Нормированные пространства.				понятий, определений,
Конечномерные пространства. Подпространства. Задача о				описаний, формулировок,
наилучшем приближении. Пространства со
6. Гильбертово пространство
6.1. Гильбертово пространство				Знания, умения на уровне
Скалярное произведение. Определение гильбертова				понятий, определений,
Основные	свойства	пространства		Скалярное	понятий, определений,
произведение.	Ортогональные				описаний, формулировок,
последовательных приближений для интегрального
уравнения Фредгольма. Среднее значение функции.
8. Линейные операторы
8.1. Линейные операторы					Знания, умения на уровне
Аддитивные операторы. Линейные операторы.					понятий, определений,
Ограниченность	линейных	операторов.	Распространение		описаний, формулировок,
линейных операторов. Пространство линейных операторов.
Обратные операторы. Матричные линейные операторы.

5. Образовательные технологии

В преподавании курса используются преимущественно традиционные образовательные технологии:

– лекции,

– практические занятия.

Занятия в активной и интерактивной формах

Не предусмотрены.

6. Лабораторный практикум

"Не предусмотрен"

7. Практические занятия

Программой предусмотрены следующие практические занятия:

1. Евклидовы пространства.

2. Нормированные пространства.

3. Гильбертовы пространства.

4. Линейные операторы.

5. Обратные операторы.

8. Организация и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов

СРС направлена на закрепление и углубление освоения учебного материала, развитие практических умений. СРС включает следующие виды самостоятельной работы студентов:

Примерное распределение времени самостоятельной работы студентов.

Примерная Вид самостоятельной работы трудоёмкость,

Текущая СРС

Примерное распределение времени самостоятельной работы студентов

Примерная Вид самостоятельной работы трудоемкость,

Текущая СРС

9. Учебно-методическое обеспечение дисциплины

9.1. Адрес сайта курса saiu.ftk.spbstu.ru

Основная литература

9.3. Технические средства обеспечения дисциплины

"не предусмотрены"

10. Материально-техническое обеспечение дисциплины

"не предусмотрены"

11. Критерии оценивания и оценочные средства

11.1. Критерии оценивания

1. Для оценки знаний по дисциплине в случае ответов по билетам (два вопроса в билете):

1.1. В случае правильного ответа на один вопрос по билету - оценка "Удовлетворительно".

1.2. В случае правильного ответа на два вопроса по билету плюс один дополнительный вопрос по темам конспекта - оценка "Хорошо".

1.3. В случае правильного ответа надва вопроса по билету и ответа на два и более, по решению преподавателя, дополнительных вопроса по темам конспекта - оценка "Отлично".

1.4. В остальных случаях - оценка "Неудовлетворительно".

11.2. Оценочные средства

Список экзаменационных вопросов по дисциплине "Введение в функциональный

Стр. 6 из 7

01.04.2012 22:25

Rich text editor, text_content, press ALT 0 for help.

http://license.stu.neva.ru/programs/print/printprograms_code.php

1. Понятие пространства в математике. n-мерное векторное пространство.

2. Норма вектора. Скалярное произведение векторов.

3. Линейные преобразования. Матрицы.

4. Норма оператора линейного преобразования.

5. Векторы с бесконечным множеством координат.

6. Пространство L2. Сходимость последовательности векторов.

7. Непрерывность нормы и скалярного произведения.

8. Линейные функционалы. Линейные операторы.

9. Понятия теории множеств.

10. Определение метрического пространства.

11. Сходимость в метрическом пространстве.

12. Замкнутые и открытые множества.

13. Полные метрические пространства. Счетные множества.

14. Непрерывные операторы и функционалы.

15. Неподвижные точки. Метод последовательных приближений.

16. Операторы сжатия. Интегральные уравнения.

17. Теорема Пеано.

18. Линейные системы. Нормированные пространства.

19. Конечномерные пространства. Подпространства.

20. Задача о наилучшем приближении.

21. Пространства со счетным базисом.

22. Скалярное произведение. Определение гильбертова пространства.

23. Понятие ортогональности. Проекция элемента на подпространство.

24. Ортогональные разложения гильбертова пространства. Ортогональные системы элементов.

25. Основные свойства пространства L2.

26. Ортогональные ряды. Метод последовательных приближений для интегрального уравнения Фредгольма.

27. Среднее значение функции.

28. Аддитивные операторы.

29 Ограниченность линейных операторов. Распространение линейных операторов.

30. Пространство линейных операторов.

31. Обратные операторы. Матричные линейные операторы.

Особенностью учебного процесса по дисциплине «Введение в функциональный анализ» является необходимость получения студентами значительной части необходимой информации при спользовании учебно-методической и справочной литературы в процессе самостоятельной работы над практическими заданиями.

Объекты управления, которые выражают характер, и содержание управляемых процессов являются весомыми признаками классификации видов анализа, применяемого к деятельности хозяйственного типа. Примечательным видом является функциональный анализ, который следует рассмотреть более подробно.

Понятие

Функциональный анализ представляет собой разновидность анализа, которая предполагает рассмотрение объекта, с точки зрения комплекса его функций, не учитывая его как материально-вещественную структуру. То есть его принимают не как совокупность конструктивных деталей, а как носитель определенной функции.

Предметом анализа этого типа являются причинно-следственные связи, структура функций и содержание конкретного продукта. Проведение исследований данного типа требует наличия специальных знаний.

Особенности функционального анализа

В объекте, подвергающемуся анализу, присутствуют полезные функции, которым сопутствуют нейтральные и негативные функции. Чтобы понять, что это означает, можно рассмотреть конкретный пример. Нож мясорубки выполняет три функции одновременно: нейтральную - нагрев продукта, полезную - его измельчение, а также негативную - сминает его. Из данной предпосылки исходит функциональный анализ. Стоит также понимать, что функции одного объекта могут быть для него полезными, а для других вредными или нейтральными.

Анализ данного типа позволяет сосредоточить все внимание на функциях рассматриваемого объекта, абстрагируясь от его исполнения. Дабы повысить степень выполнения и уменьшить затраты функций, производится поиск альтернативных вариантов для их реализации. Анализ этого вида может использоваться с целью совершенствования технических процессов и объектов.

Основные цели функционального анализа

Функциональный анализ применяется для достижения таких целей:

• Устранение лишних функций. Зачастую некоторые применяемые функции не соответствуют условиям нынешней экономической системы. По этой причине выполняется их обоснованное сокращение. Это можно делать с целью экономии средств, а также усовершенствования организационной структуры учреждения.
• Добавление необходимых недостающих функций. Например, для перехода к рыночной экономике может быть недостаточно административных функций. Вместе с тем некоторые из тех, которые имеются, уже давно устарели. Если заменить нейтральные функции полезными, это позволит улучшить деятельность предприятия.
• Рационализация в распределении. Дабы избежать снижения эффективности, следует обеспечить эффективное одновременное выполнение разных функций. Для этого необходимо выполнить их распределение рационально.

Функциональный анализ должен разрабатываться с предельной внимательностью, что позволит достичь поставленных целей.

Функциональные подходы

Структурно функциональный анализ представляет собой один из главнейших подходов к изучению социальных явлений. Он получил наибольше значение в теории организаций. В некоторых случаях социальный объект рассматривается как адаптивная система, составляющие которой удовлетворяют потребности системы в целом.

Функциональный стоимостной анализ представляет собой один из способов проведения системного исследования функций объекта. Благодаря ему можно найти баланс между полезностью объекта и его себестоимостью. Его применяют для совершенствования продукции и услуг.

Рассмотрев данное понятие, можно начать более углубленное изучение функционального анализа, которое позволит подробно изучить тему.

I Функциона́льный ана́лиз

часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. Для Ф. а. характерно сочетание методов классического анализа, топологии и алгебры. Абстрагируясь от конкретных ситуаций, удаётся выделить аксиомы и на их основе построить теории, включающие в себя классические задачи как частный случай и дающие возможность решать новые задачи. Сам процесс абстрагирования имеет самостоятельное значение, проясняя ситуацию, отбрасывая лишнее и открывая неожиданные связи. В результате удаётся глубже проникнуть в сущность математических понятий и проложить новые пути исследования.

Развитие Ф. а. происходило параллельно с развитием современной теоретической физики, при этом выяснилось, что язык Ф. а. наиболее адекватно отражает закономерности квантовой механики, квантовой теории поля и т.п. В свою очередь эти физические теории оказали существенное влияние на проблематику и методы Ф. а.

1. Возникновение функционального анализа. Ф. а. как самостоятельный раздел математики сложился на рубеже 19 и 20 вв. Большую роль в формировании общих понятий Ф. а. сыграла созданная Г. Кантором теория множеств. Развитие этой теории, а также аксиоматической геометрии привело к возникновению в работах М. Фреше и Ф. Хаусдорфа метрической и более общей т. н. теоретико-множественной топологии, изучающей абстрактные пространства, т. е. множества произвольных элементов, для которых установлено тем или иным способом понятие близости.

Среди абстрактных пространств для математического анализа и Ф. а. оказались важными функциональные пространства (т. е. пространства, элементами которых являются функции - откуда и название «Ф. а.»). В работах Д. Гильберта по углублению теории интегральных уравнений возникли пространства l 2 и L 2 (a , b ) (см. ниже). Обобщая эти пространства, Ф. Рис изучил пространства l p и L p (a , b ), а С. Банах в 1922 выделил полные линейные нормированные пространства (банаховы пространства). В 1930-40-х гг. в работах Т. Карлемана, Ф. Риса, американских математиков М. Стоуна и Дж. Неймана была построена абстрактная теория самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве.

В СССР первые исследования по Ф. а. появились в 30-х гг.: работы

А. Н. Колмогорова (1934) по теории линейных топологических пространств;

Н. Н. Боголюбова (1936) по инвариантным мерам в динамических системах;

Л. В. Канторовича (1937) и его учеников по теории полуупорядоченных пространств, применениям Ф. а. к вычислительной математике и др.; М. Г. Крейна и его учеников (1938) по углублённому изучению геометрии банаховых пространств, выпуклых множеств и конусов в них, теории операторов и связей с различными проблемами классического математического анализа и др.; И. М. Гельфанда и его учеников (1940) по теории нормированных колец (банаховых алгебр) и др.

Для современного этапа развития Ф. а. характерно усиление связей с теоретической физикой, а также с различными разделами классического анализа и алгебры, например теорией функций многих комплексных переменных, теорией дифференциальных уравнений с частными производными и т.п.

2. Понятие пространства. Наиболее общими пространствами, фигурирующими в Ф. а., являются линейные (векторные) топологические пространства, т. е. линейные пространства (См. Линейное пространство) Х над полем комплексных чисел Х можно ввести норму (длину) векторов, свойства которой являются обобщением свойств длины векторов в обычном евклидовом пространстве. Именно, нормой элемента x ∈ Х называется действительное число ||x || такое, что всегда ||x || ≥ 0 и ||x || = 0 тогда и только тогда, когда x = 0;

||λx || = |λ| ||x ||, λ ∈

||x + y || ≤ ||x || + ||y ||.

Такое пространство называется линейным нормированным; топология в нём вводится при помощи метрики dist (x , у ) = ||x - у || (т. о. считается, что последовательность x n x, если ||x n - x ||

В большом числе задач возникает ещё более частная ситуация, когда в линейном пространстве Х можно ввести скалярное произведение - обобщение обычного скалярного произведения в евклидовом пространстве. Именно, скалярным произведением элементов x , у ∈ Х называется комплексное число (x , у ) такое, что всегда (x , x ) ≥ 0 и (x , x ) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0;

При этом x. Такое пространство называется предгильбертовым. Для конструкций Ф. а. важно, чтобы рассматриваемые пространства были полными (т. е. из того, что x m , x n ∈ X, следует существование предела Х). Полное линейное нормированное и полное предгильбертово пространства называются, соответственно, банаховым и гильбертовым. При этом известная процедура пополнения метрического пространства (аналогичная переходу от рациональных чисел к действительным) в случае линейного нормированного (предгильбертова) пространства приводит к банахову (гильбертову) пространству.

Обычное Евклидово пространство является одним из простейших примеров (действительного) гильбертова пространства (См. Гильбертово пространство). Однако в Ф. а. играют основную роль бесконечномерные пространства, т. е. такие, в которых существует бесконечное число линейно независимых векторов. Вот примеры таких пространств, элементами которых являются классы комплекснозначных (т. е. со значениями в x (t ), определённых на некотором множестве Т , с обычными алгебраическими операциями [т. e .(x + y )(t ) = x (t ) + y (t ), (λx )(t ) = λx (t )]

Банахово пространство С (Т ) всех непрерывных функций, Т - компактное подмножество n- мерного пространства x|| = L p (T ) всех суммируемых с р -й (p ≥ 1) степенью функций на Т , норма l p всех последовательностей таких, что x|| =(∑x j | p ) 1/p ; в случае p = 2 пространства l 2 и L 2 (T ) гильбертовы, при этом, например, в L 2 (T ) скалярное произведение D (|R), состоящее из бесконечно дифференцируемых функций на |R, каждая из которых финитна [т. е. равна нулю вне некоторого интервала (а , b )]; при этом x n x, если x n (t ) равномерно финитны [т. е. (а , b ) не зависит от n ] и сходятся равномерно со всеми своими производными к соответствующим производным x (t ).

Все эти пространства бесконечномерны, проще всего это видно для l 2 : векторы e j = {0,..., 0, 1, 0,...} линейно независимы.

С геометрической точки зрения наиболее простыми являются гильбертовы пространства Н , свойства которых больше всего напоминают свойства конечномерных евклидовых пространств. В частности, два вектора x , у ∈ Н называются ортогональными (x ⊥ y ), если (x , у ) = 0. Для любого x ∈ Н существует его проекция на произвольное подпространство F - линейное замкнутое подмножество Н , т. е. такой вектор x F , что x -x F ⊥f для любого f ∈ F . Благодаря этому факту большое количество геометрических конструкций, имеющих место в евклидовом пространстве, переносится на Н , где они часто приобретают аналитический характер. Так, например, обычная процедура ортогонализации приводит к существованию в Н ортонормированного базиса - последовательности векторов e j , j ∈ Н таких, что ||e j || = 1, e j ⊥ e k при j ≠ k , и для любого x ∈ H справедливо «покоординатное» разложение

x = ∑x j e j (1)

где x j = (x , e j ), ||x || = ∑x j | 2 (для простоты Н предполагается сепарабельным, т. е. в нём существует счётное всюду плотное множество). Если в качестве Н взять L 2 (0, 2π) и положить j =...,-1, 0, 1..., то (1) даст разложение функции x (t ) ∈ L 2 (0, 2π) в ряд Фурье, сходящийся в среднем квадратичном. Кроме того, соотношение (1) показывает, что соответствие между Н и l 2 ∋ {xj} , j ∈

Подобные геометрические вопросы резко усложняются при переходе от гильбертовых к банаховым и тем более линейным топологическим пространствам в связи с невозможностью ортогонального проектирования в них. Например, «проблема базиса». Векторы e , образуют базис в l p в смысле справедливости разложения (1). Базисы построены в большинстве известных примеров банаховых пространств, однако проблема (С. Банаха - Ю. Шаудера) существования базиса в каждом сепарабельном банаховом пространстве не поддавалась решению более 50 лет и лишь в 1972 была решена отрицательно. В Ф. а. важное место занимает подобная «геометрическая» тематика, посвященная выяснению свойств различных множеств в банаховых и др. пространствах, например выпуклых, компактных и т.д. Здесь часто просто формулируемые вопросы имеют весьма нетривиальные решения. Эта тематика тесно связана с изучением изоморфизма пространств, с нахождением универсальных (подобно l 2) представителей в том или ином классе пространств и т.п.

Большой раздел Ф. а. посвящен детальному изучению конкретных пространств, т.к. их свойства обычно определяют характер решения задачи, получаемой методами Ф. а. Типичный пример - теоремы вложения для т. н. пространств С. Л. Соболева и их обобщений: простейшее такое пространство W l p (T ), p ≥ 1, l = 0, 1, 2,..., определяется как пополнение пространства бесконечно дифференцируемых в Т функций x (t ) относительно нормы ∑||D α x || в L p (T ), где сумма распространяется на все производные D α до порядка ≤ l . В этих теоремах выясняется вопрос о характере гладкости элементов пространства, получаемых процедурой пополнения.

В связи с запросами математической физики в Ф. а. возникло большое число конкретных пространств, строящихся из известных ранее при помощи определённых конструкций. Наиболее важные из них:

ортогональная сумма H j - конструкция, подобная образованию Н одномерными подпространствами, описываемому формулой (1); факторизация и пополнение: на исходном линейном пространстве Х задаётся квазискалярное произведение [т. е. возможно равенство (x , x ) = 0 для x ≠ 0], часто весьма экзотического характера, и Н строится процедурой пополнения Х относительно (.,.) после предварительного отождествления с 0 векторов x , для которых (x , x ) = 0; тензорное произведение f (x 1 ) к функциям многих переменных f (x 1 ,..., x q ); проективный предел X 1 ⊂ X 2 ⊂..., здесь x j , начиная с некоторого j 0 , лежат в одном X j0 , и в нём Н α , обладающих тем свойством, что для каждого α найдётся β такое, что h β ⊂ Н α , и это - т. н. вложение Гильберта - Шмидта .

Разработан важный раздел Ф, а., в котором изучаются пространства с конической структурой «x С (Т ), в нём считается x x (t ≥)0 для всех t ∈T .

3. Операторы (общие понятия). Функционалы. Пусть X , Y - линейные пространства; отображение A : X → Y называется линейным, если для x , у ∈ X , λ, μ ∈

A (λx + μу ) = λAx + μАу ;

линейные отображения обычно называются линейными операторами. В случае конечномерных X , Y структура линейного оператора простая: если зафиксировать базисы в Х и Y , то

где x 1 ,..., x n и (Ax ) 1 ,..., (Ax ) n - координаты векторов x и Ax соответственно. При переходе к бесконечномерным линейным топологическим пространствам положение значительно усложняется. Здесь прежде всего необходимо различать непрерывные и разрывные линейные операторы (для конечномерных пространств они всегда непрерывны). Так, действующий из пространства L 2 (а , b ) в него же оператор

(где K (t , s ) - ограниченная функция - ядро А ) - непрерывен, в то время как определённый на подпространстве C 1 (a , b ) ⊂ L 2 (a , b ) оператор дифференцирования

является разрывным (вообще, характерной особенностью разрывных операторов является то, что они не определены на всём пространстве).

Непрерывный оператор A : X → Y , где X , Y - банаховы пространства, характеризуется тем, что

поэтому его называют также ограниченным. Совокупность всех ограниченных операторов X, Y ) относительно обычных алгебраических операций образует банахово пространство с нормой ||A ||. Свойства X, Y ) во многом отражают свойства самих Х и Y . В особенности это относится к случаю, когда Y одномерно, т. е. когда рассматриваются линейные непрерывные отображения l : X → X, Х пространством и обозначается X" . Если Х = Н гильбертово, то структура H" проста: подобно конечномерному случаю, каждый функционал l (x ) имеет вид (x , a ), где a - зависящий от l вектор из Н (теорема Риса). Соответствие H" → Н устанавливает изоморфизм между H" и Н , и можно считать, что H" = Н . В случае общего банахова пространства Х ситуация гораздо сложнее: можно строить X" , X» = (X" )" ,..., и эти пространства могут оказаться различными. Вообще, в случае банахова пространства непрост даже вопрос о существовании нетривиальных (т. е. отличных от 0) функционалов. Если F - подпространство Х (не сводящееся к одной точке) и существует l ∈ F" , то этот функционал можно продолжить на всё Х до функционала из X" без изменения нормы (теорема Хана - Банаха). Если l ∈ Х , то уравнение l (x ) = c определяет гиперплоскость - сдвинутое на некоторый вектор подпространство X , имеющее на единицу меньшую, чем X , размерность, так что результаты типа указанной теоремы имеют простую геометрическую интерпретацию.

Пространство X" в известном смысле «лучше» X . Так, например, в нём можно наряду с нормой ввести т. н. слабую топологию [грубо говоря, x ∈ X ], относительно которой шар, т. е. множество точек x ∈ Х таких, что ||x || ≤ r , уже будет компактным (такого эффекта никогда не будет в бесконечномерном пространстве относительно топологии, порождаемой нормой). Это позволяет более детально изучить ряд геометрических вопросов для множеств из X" , например установить структуру произвольного компактного выпуклого множества как замкнутой оболочки своих крайних точек (теорема Крейна - Мильмана).

Важной задачей Ф. а. является отыскание общего вида функционалов для конкретных пространств. В ряде случаев (помимо гильбертова пространства) это удаётся сделать, например (l p )", p > 1, состоит из функций вида ∑x j e j , где t 0 и m на пространстве D (|R) определён функционал m = 0 его ещё можно записать «классическим» образом - при помощи интеграла, однако при m ≥ 1 это уже невозможно. Элементы из (D (|R))" называются обобщёнными функциями (См. Обобщённые функции) (распределениями). Обобщённые функции как элементы сопряжённого пространства можно строить и тогда, когда D (|R) заменено другим пространством Ф, состоящим как из бесконечно, так и конечное число раз дифференцируемых функций; при этом существенную роль играют тройки пространств Ф" ⊃ Н ⊃ Ф, где Н - исходное гильбертово пространство, а Ф - линейное топологическое (в частности, гильбертово с др. скалярным произведением) пространство, например

Ф = W l 2 (T ).

Дифференциальный оператор D , фигурирующий в (3), будет непрерывным, если его понимать действующим в L 2 [a , b ] из пространства C 1 [a , b ], снабженного нормой

4. Специальные классы операторов. Спектральная теория. Многие задачи приводят к необходимости изучать разрешимость уравнения вида Cx = y , где С - некоторый оператор, у ∈ Y - заданный, а x ∈ Х - искомый векторы. Например, если Х = Y = L 2 (а , b ), С = Е - А , где А - оператор из (2), а Е - тождественный оператор, то получается интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода; если С - дифференциальный оператор, то получается дифференциальное уравнение, и т.п. Однако здесь нельзя рассчитывать на достаточно полную аналогию с линейной алгеброй, не ограничивая класс рассматриваемых операторов. Одним из важнейших классов операторов, наиболее близких к конечномерному случаю, являются компактные (вполне непрерывные) операторы, характеризующиеся тем, что переводят каждое ограниченное множество из Х в множество из Y , замыкание которого компактно [таков, например, оператор А из (2)]. Для компактных операторов построена теория разрешимости уравнения x - Ax = у , вполне аналогичная конечномерному случаю (и содержащая, в частности, теорию упомянутых интегральных уравнений) (Ф. Рис).

В разнообразных задачах математической физики возникает т. н. задача на Собственные значения: для некоторого оператора А : Х → Х требуется выяснить возможность нахождения решения φ ≠ 0 (собственного вектора (См. Собственные векторы)) уравнения А φ = λφ при некотором λ ∈ А на собственный вектор особенно просто - оно сводится к умножению на скаляр. Поэтому, если, например, собственные векторы оператора А образуют базис e j , j ∈ X, т. е. имеет место разложение типа (1), то действие А становится особенно наглядным:

Ax = ∑ j x j e j , (4)

где λ j , - собственное значение, отвечающее e j . Для конечномерного Х вопрос о таком представлении полностью выяснен, при этом в случае кратных собственных значений для получения базиса в Х нужно, вообще говоря, добавить к собственным т. н. присоединённые векторы. Набор SpA собственных значений в этом случае называется спектром А .

Первое перенесение этой картины на бесконечномерный случай было дано для интегральных операторов типа А из (2) с симметричным ядром [т. е. K (t , s ) = K (s , t ) и действительно] (Д. Гильберт). Затем подобная теория была развита для общих компактных самосопряжённых операторов (См. Самосопряжённый оператор) в гильбертовом пространстве. Однако при переходе к простейшим некомпактным операторам возникли трудности, связанные с. самим определением спектра. Так, ограниченный оператор в L 2 [a , b ]

(Tx )(t ) = tx (t ) (5)

не имеет собственных значений. Поэтому определение спектра было пересмотрено, обобщено и выглядит сейчас следующим образом.

Пусть Х - банахово пространство, А ∈ X, X ). Точка z ∈ А, если обратный оператор (А - zE ) –1 = R z (т. е. обратное отображение) существует и принадлежит X, X ). Дополнение к множеству регулярных точек и называется спектром Sp А оператора А . Как и в конечномерном случае, Sp А всегда не пуст и расположен в круге ||z || ≤ ||A ||. С помощью этих понятий построена Операторов теория, т. е. выяснено, как придавать разумный смысл некоторым функциям от операторов. Так, если f (z ) = f (A ) = f (z ) - аналитическая функция, то так прямо понимать f (A ) уже не всегда возможно; в этом случае f (A ) определяется следующей формулой, если f (z ) аналитична в окрестности SpA, а Г - контур, охватывающий SpA и лежащий в области аналитичности f (z ):

При этом алгебраические операции над функциями переходят в аналогичные операции над операторами [т. е. отображение f (z ) → f (A ) - гомоморфизм]. Эти конструкции не дают возможности выяснить, например, вопросы полноты собственных и присоединённых векторов для общих операторов, однако для самосопряжённых операторов, представляющих основной интерес, например, для квантовой механики, подобная теория полностью разработана.

Пусть Н - гильбертово пространство. Ограниченный оператор А : Н → Н называется самосопряжённым, если (Ax , у ) = (x , Ау ) (в случае неограниченного А определение более сложно). Если Н n -мерно, то в нём существует ортонормированный базис собственных векторов самосопряжённого оператора А ; другими словами, имеют место разложения:

где P (λ j ) - оператор проектирования (проектор) на подпространство, натянутое на все собственные векторы оператора А , отвечающие одному и тому же собственному значению λ j .

Оказывается, что эти формулы могут быть обобщены на произвольный самосопряжённый оператор из Н , только сами проекторы P (λ j ) могут не существовать, поскольку могут отсутствовать и собственные векторы [таков, например, оператор Т в (5)]. В формулах (7) суммы заменяются теперь интегралами Стилтьеса по неубывающей операторнозначной функции Е (λ) [которая в конечномерном случае равна А. Если привлечь обобщённые функции, то формулы типа (7) сохраняются. Именно, если имеется тройка Ф" ⊃ Н ⊃ Ф , где Ф, например, ядерно, причём А переводит Ф в Ф" и непрерывно, то соотношения (7) имеют место, только суммы переходят в интегралы по некоторой скалярной мере, а Е (λ) теперь «проектирует» Ф в Ф", давая векторы из Ф", которые будут собственными в обобщённом смысле для А с собственным значением λ. Аналогичные результаты справедливы для т. н. нормальных операторов (т. е. коммутирующих со своими сопряжёнными). Например, они верны для унитарных операторов (См. Унитарный оператор) U - таких ограниченных операторов, которые отображают всё Н на всё Н и сохраняют при этом скалярное произведение. Для них спектр SpU расположен на окружности |z | = 1, вдоль которой и производится интегрирование в аналогах формул (6). См. также Спектральный анализ линейных операторов.

5. Нелинейный функциональный анализ. Одновременно с развитием и углублением понятия пространства шло развитие и обобщение понятия функции. В конечном счёте оказалось необходимым рассматривать отображения (не обязательно линейные) одного пространства в другое (часто - в исходное). Одной из центральных задач нелинейного Ф. а. является изучение таких отображений. Как и в линейном случае, отображение пространства в

Важной задачей нелинейного Ф. а. является задача отыскания неподвижных точек отображения (точка x называется неподвижной для отображения F , если Fx = x ). К отысканию неподвижных точек сводятся многие задачи о разрешимости операторных уравнений, а также задачи отыскания собственных значений и собственных векторов нелинейных операторов. При решении уравнений с нелинейными операторами, содержащими параметр, возникает существенное для нелинейного Ф. а. явление - т. н. точки ветвления (решений).

При исследовании неподвижных точек и точек ветвления используются топологические методы: обобщения на бесконечномерные пространства теоремы Брауэра о существовании неподвижных точек отображений конечномерных пространств, степени отображений и т.п. Топологические методы Ф. а. развивались польским математиком Ю. Шаудером, французским математиком Ж. Лере, советскими математиками М. А. Красносельским, Л. А. Люстерником и др.

6. Банаховы алгебры. Теория представлений. На ранних этапах развития Ф. а. изучались задачи, для постановки и решения которых необходимы были лишь линейные операции над элементами пространства. Исключение составляют, пожалуй, только теория колец операторов (факторов) (Дж. Нейман, 1929) и теория абсолютно сходящихся рядов Фурье (Н. Винер, 1936). В конце 30-x гг. в работах японского математика М. Нагумо, советских математиков И. М, Гельфанда, Г. Е. Шилова, М. А. Наймарка и др. стала развиваться теория т. н. нормированных колец (современное название - банаховы алгебры), в которой, кроме операций линейного пространства, аксиоматизируется операция умножения (причём ||xy || ≤ ||x || ||y ||). Типичными представителями банаховых алгебр являются кольца ограниченных операторов, действующих в банаховом пространстве Х (умножение в нём - последовательное применение операторов - необходимо с учётом порядка), различного рода функциональные пространства, например C (T ) с обычным умножением, L 1 (|R) со свёрткой в качестве произведения, и широкое обобщение их - класс т. н. групповых алгебр (топологические группы G ), состоящих из комплекснозначных функций или мер, определённых на G со свёрткой (в различных, не обязательно эквивалентных вариантах) Функциональный анализ признаков поведения Можно привести много примеров, когда функция поведенческого акта очевидна и не требует специальных исследований. Однако во многих случаях, требуются кропотливые исследования, чтобы выяснить например, функцию отдельных автора Крапивенский Соломон Элиазарович

3. Социальные системы: функциональный анализ Анализ социальных систем, проведенный выше, носил по преимуществу структурно-компонентный характер. При всей своей важности он позволяет понять, из чего состоит система и - в гораздо меньшей степени - какова ее целевая

9. Эмпирическая социология и структурно-функциональный анализ

Из книги Философия автора Лавриненко Владимир Николаевич

9. Эмпирическая социология и структурно-функциональный анализ В первой половине XX столетия на Западе, прежде всего в Европе и Америке, быстро развивалась эмпирическая социология. Она представляет собой современное проявление социологического позитивизма, начало

Функциональный акт

Из книги Алгоритмы разума автора Амосов Николай Михайлович

Функциональный акт Любой интеллект функционирует дискретно. Если говорить точнее, то это сочетание непрерывных и дискретных процессов. Впрочем, существуют ли вообще чисто непрерывные процессы. Во всяком случае, в сложных системах любое непрерывное есть только

2.1.2. Функциональный анализ

автора Исаев Борис Акимович

2.1.2. Функциональный анализ Термин «функция» означает «исполнение». В социальной системе функция означает исполнение ролей определенную деятельность, выполняемую элементами в интересах системы.Сущностьфункционального анализа заключается в выделении элементов

2.1.3. Структурно-функциональный анализ

Из книги Социология [Краткий курс] автора Исаев Борис Акимович

2.1.3. Структурно-функциональный анализ Мы намеренно представили Р. Мертона как сторонника и структурного, и функционального подходов. Действительно, в 1949 г. он опубликовал работу «Парадигмы для функционального анализа» и явился миру социальных наук как последовательный

Структурно-функциональный анализ

Из книги Большая Советская Энциклопедия (СТ) автора БСЭ

«Функциональный анализ и его приложения»

БСЭ

Функциональный анализ (математ.)

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ФУ) автора БСЭ

Функциональный анализ (хим.)

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ФУ) автора БСЭ

Функциональный Акт

Из книги Энциклопедия Амосова. Алгоритм здоровья автора Амосов Николай Михайлович

Функциональный Акт Разум действует не непрерывно, а «порциями», «единицами действия». Я их назвал Функциональные Акты (ФА). Они являются как бы некими единицами механизмов мышления и требуют подробного рассмотрения.Процедуры ФА осуществляются с участием как устройств

3.1.3. Функциональный анализ

Из книги Самоутверждение подростка автора Харламенкова Наталья Евгеньевна

3.1.3. Функциональный анализ Самоутверждение рождает в человеке чувство собственного достоинства и подтверждает его на разных этапах жизни. К такому выводу приходят исследователи, когда говорят о функциях самоутверждения.Если считать его единственным выводом, то в таком

Посвящается тридцатилетию кафедры функционального анализа БГУ

Функциональный анализ изучает множества, снабженные согласованными между собой алгебраическими и топологическими структурами, и их отображения, а также методы, с помощью которых сведения об этих структурах применяются к конкретным задачам. Как самостоятельная математическая дисциплина функциональный анализ оформился в начале XX века в результате переосмысления и обобщения ряда понятий математического анализа, алгебры и геометрии. Основополагающая монография Стефана Банаха Теория линейных операций была опубликована в 1932 году. За последующие десятилетия функциональный анализ глубоко проник почти во все области математики.

Основой для широких приложений функционального анализа является то, что большинство задач, возникающих в математике и математической физике, касается не отдельных объектов типа функций, мер или уравнений, а, скорее, обширных классов таких объектов, при- чем на этих классах обычно существует естественная структура векторного пространства и естественная топология. Среди областей применения функционального анализа можно указать математическую физику, теорию функций, теорию дифференциальных и интегральных уравнений, теорию вероятностей, методы вычислений, квантовую механику, математическую экономику и ряд других научных направлений.

Естественно, что функциональный анализ стал одной из базовых дисциплин в университетском математическом образовании, опубликовано много учебных пособий и монографий разного уровня сложности. Особенностью данной книги, предназначенной для студентов математических специальностей университетов, является то, что при ее написании ставилась цель отобрать минимум материала, который отражает основные идеи и методы функционального анализа, и вместе с тем может быть достаточно подробно изложен за время, отведенное учебным планом на курс Функциональный анализ и интегральные уравнения.

В книге изложены основы теории меры и интеграла Лебега, метрических и нормированных пространств и операторов в них, основные принципы линейного функционального анализа, основы теории обобщенных функций и топологических векторных пространств. Интегральные уравнения рассматриваются в качестве одного из основных объектов приложений. Соответствующие результаты не выделены в отдельную главу, а распределены по книге и носят характер иллюстраций и следствий общих утверждений, что позволяет демонстрировать плодотворность методов функционального анализа.

Приложение содержит основные факты из общей топологии, которые нужны для более глубокого понимания ряда вопросов и используются в основном в главе IX.

В основу книги положен курс лекций, который в течение ряда лет читается авторами на механико-математическом факультете Белорусского государственного университета. Содержание основного курса изложено в главах I VII, материал глав VIII и IX обычно излагается в спецкурсах.

Первое издание книги вышло в 1984 году. В рецензировании первого издания участвовали член-корреспондент РАН Л. Д. Кудрявцев, профессора Б. И. Голубов и В. М. Говоров, чьи критические замечания и полезные советы способствовали существенному улучшению содержания книги.

При подготовке второго издания были переработаны и расширены некоторые разделы, устранены обнаруженные опечатки и неточности. Мы благодарны рецензентам второго издания академику НАН Беларуси И. В. Гайшуну, член-корреспонденту НАН Беларуси В. И. Корзюку, профессорам П. П. Забрейко и В. Н. Русаку за ценные замечания.

Мы выражем благодарность доцентам кафедры функционального анализа БГУ М. Х. Мазель и Л. Г. Третьяковой, участвовавшим в подготовке и редактировании текста, а также Г. И. Радыно и Е. М. Радыно за техническую помощь при подготовке рукописи.

В книге принята сплошная нумерация параграфов, ссылки внутри параграфа даются без указания его номера. Знаком B обозначается

начало доказательства, а знаком C его окончание. Знак:= читаетсяположим по определению или обозначим.

ТЕОРИЯ МЕРЫ

Ÿ 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Новые математическое объекты и понятия вводятся всегда с помощью других, более общих объектов, и определяются как такие более общие объекты, удовлетворяющие некоторым условиям. Более общие объекты, в свою очередь, были введены с помощью еще более общих и т. д. Такая цепочка понятий должна ãäå-òî оканчиваться какие-то объекты должны быть приняты за базовые, которые не вводятся с помощью более общих понятий. Таким базовым понятием в современной математике обычно считается понятие множества. Множество можно понимать как совокупность, набор, собрание некоторых объектов произвольной природы, которые называют элементами данного множества. МножествоX считается заданным, если известны его элемен-

ты, т. е. для любого объекта a выполнено: либоa является элементомX (записываетсяa 2 X ) ëèáîa не является элементомX (записываетсяa 62X ) :

Напомним основные понятия теории множеств.

Åñëè A èB множества, то множествоA называется подмножеством множестваB (обозначаетсяA ½ B ) ; если каждый элемент множестваA является элементом множестваB:

Множество всех подмножеств множества X обозначаетсяP(X ) : Множество, состоящее из одной точкиx; обозначаетсяfxg: Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается;: Для любого множестваX выполнено; ½ X:

Если для элементов множества X задано некоторое свойствоP (x ) , то подмножество множестваX , состоящее из всех элементовx 2 X; для которых свойствоP (x ) выполнено, записывают следующим обра-

çîì: fxj x 2 X; P(x) gèëè fx 2 X: P(x) g:

Заметим, что свойство P (x ) задает подмножество вX только в том

случае, когда это свойство сформулировано так, что для каждого элемента x существует определенный ответ: выполнено это свойство для

данного x или не выполнено. Известны примеры таких формулиро-

вок свойств элементов, для которых только достаточно внимательный анализ показывает, что они не удовлетворяют этому требованию.

П р и м е р (п а р а д о к с Р и ш а р а). Пусть X = N åñòü ìíî-

жество натуральных чисел. Некоторые натуральные числа могут быть заданы с помощью фраз на русском языке. Пусть M есть совокупность

всех натуральных чисел, которые могут быть заданы с помощью фраз, содержащих не более 20 слов, каждое из которых записывается с помощью не более чем 20 букв. Так как всех возможных фраз указанных размеров конечное число, то совокупность M не может совпадать со

всем множеством N .

Пусть a есть наименьшее из натуральных чисел, которые не мо-

гут быть заданы фразой, содержащей менее 20 слов. Последняя фраза содержит менее 20 слов, каждое из которых записывается с помощью не более чем 20 букв, и эта фраза задает число a . Тем самымa

является элементом M . Но, по смыслу этой фразы, числоa не является элементом совокупностиM . Таким образом, указанное свойство

натурального числа не задает подмножество, т. е. это свойство нечетко задано.

Пусть A èB множества; пересечением этих множеств называ-

ется множество A \ B = fxj x 2 A; x 2 Bg: Åñëè(A n ) n >1 последова- тельность множеств, то их пересечением называется множество

An = fxj x 2 An ; n= 1 ;2 ; : : :g:

Аналогично, если (A i ) i2I семейство множеств, занумерованных элементами некоторого множестваI; òî

Ai = fxj x 2 Ai 8i 2 Ig:

Объединением множеств A èB называется множествоA [ B =

Fxj x 2 A èëèx 2 Bg: Åñëè(A i ) i2I семейство множеств, то объединением называется множество

Ai = fxj 9i 2 I;÷òî x 2 Ai g:

Åñëè A ½ S i2I A i , то говорят, что семейство множествA i является

покрытием` множестваX:

Знаком будем обозначать в дальнейшем объединение непересекающихся множеств (дизъюнктное объединение). Таким образом,

f (i ) 2 X i :

непустых множеств

A = Ai

A j=

A = A1

означает, что A = A 1

[ A2 è A1

\ A2

= ; ;

i A i = A

A i = A , òî

A i задает

разбиение

означает, что

для любых

J: Åñëè

говорят, что семейство множеств

множества.

A nB :=

Разностью множеств

A èB называется

множество

Fxj x 2 A; x 62Bg:Åñëè A ½ B;òî A n B= ;;т. е. разность несет

мало информации о взаимном расположении множеств. Более точно его учитывает симметрическая разность:

A4B = (A n B) (B n A) = (A B) n(A B) :

Для наиболее часто встречающихся множеств будем использовать стандартные обозначения: N множество натуральных чисел; Z

множество целых чисел; Q множество рациональных чисел; R множество действительных чисел; C множество комплексных чи-

ñåë; R+ множество положительных действительных чисел; Rn действительное n -мерное пространство; Cn комплексное n -мерное

пространство; P(X ) множество всех подмножествX:

Декартовым произведением множеств X èY называется множество упорядоченых пар элементов

X £ Y = f(x; y) j x 2 X; y 2 Y g:

Åñëè (X i ) ; i 2 I; семейство множеств, занумерованных элемен-

тами некоторого множества I; то их произведением называется мно-жество i Q 2I X i ; состоящее из семейств элементов, занумерованных эле-

ментами множества I (функций наI ), таких, что Утверждение о том, что произведениеQ X i

всегда не является пустым, принимается в теории множеств как следующая аксиома.

Аксиома выбора. Для всякого семейства непустых множеств X i ; i 2 I; существует функцияf на множествеI такая, что зна-

чение f (i ) принадлежитX i для любогоi 2 I:

Другими словами можно сказать, что аксиома выбора утверждает существование множества, содержащего ровно по одному элементу из каждого множества X i : В теории множеств доказывается, что это утверждение не может быть получено из других, более очевидных свойств. Поэтому утверждения о существовании некоторых объектов,

флексивным, если

доказательства которых основаны на аксиоме выбора, не являются конструктивными они не указывают способа явного построения искомого объекта.

Определение 1. Отношением между множествамиX èY называется любое подмножествоR из декартова произведенияX £ Y: ÅñëèX = Y; то отношениеR называется (бинарным) отношением на множествеX:

П р и м е р ы отношений на множестве R:

1. x6 y;ò. å. f(x; y) 2R £R j x6 yg;

2. y= sin x;ò. å. f(x; y) 2R £R j y= sin xg;

3. x ¡ y 2Z ;ò. å. f(x; y) 2R £R j x ¡ y 2Z g:

Определение 2. ОтношениеR на множествеX называется ре-

(x; x ) 2 R äëÿ8x 2 X ; симметричным, если из

(x; y ) 2 R следует(y; x ) 2 R ; транзитивным, если из(x; y ) 2 R è(y; z ) 2 R следует(x; z ) 2 R: ОтношениеR называется антисиммет-

ричным, если из (x; y ) 2 R è(y; x ) 2 R следуетx = y: Наиболее часто используются следующие виды отношений.

1. Отношение эквивалентности

Отношение R ½ X £X называется отношением эквивалентности

на множестве X; если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Обычно условие(x; y ) 2 R в случае отношения эквивалентности запи-

сывается в виде x » y èëèx » y:

Если на множестве X задано отношение эквивалентности, то мно-

жество X разбивается на непересекающиеся классы эквивалентных

между собой элементов. Класс эквивалентности, содержащий элемент x; обозначаем[ x ] :

П р и м е р. В качестве X возьмем множество целых чиселZ : Введем отношение эквивалентности:x » y; åñëèx ¡ y = 3 k; k 2 Z : МножествоZ распадается на три класса

= { . . . , -6, -3, 0, 3, 6, . . . } ; = { . . . , -5, -2, 1, 4, 7, . . . } ; = { . . . , -7, -4, -1, 2, 5, . . . }.

2. Отношение порядка

Отношение R на множествеX называется отношением порядка,

если оно транзитивно, рефлексивно и антисимметрично. Обычно условие (x; y ) 2 R в случае отношения порядка записывают в видеx Á y è

читают x предшествуетy èëèy следует заx . 8