Видеоурок «Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые. Проверить уровень освоенности учащимися темы «Смежные и вертикальные углы»

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. На рисунке 20 углы АОВ и ВОС смежные.

Сумма смежных углов равна 180°

Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180°.

Доказательство. Луч ОВ (см. рис.1) проходит между сторонами развернутого угла. Поэтому ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180° .

Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.

Вертикальные углы равны

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикальными (рис. 2).

Теорема 2. Вертикальные углы равны.

Доказательство. Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD (см. рис. 2). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ и COD. По теореме 1 ∠ АОВ + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Отсюда заключаем, что ∠ АОВ = ∠ COD.

Следствие 1. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD (рис.3). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис.3), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2, 1 и 4 - смежные, углы 1 и 3 - вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.

АН - перпендикуляр к прямой

Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на ней (рис.4). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.

Чертежный угольник

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Из всякой точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертежный угольник (рис.5).

Замечание. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Например, условие теоремы 2 - углы вертикальные; заключение - эти углы равны.

Всякую теорему можно подробно выразить словами так, что ее условие будет начинаться словом «если», а заключение - словом «то». Например, теорему 2 можно подробно высказать так: «Если два угла вертикальные, то они равны».

Пример 1. Один из смежных углов равен 44°. Чему равен другой?

Решение. Обозначим градусную меру другого угла через x , тогда согласно теореме 1.
44° + х = 180°.
Решая полученное уравнение, находим, что х = 136°. Следовательно, другой угол равен 136°.

Пример 2. Пусть на рисунке 21 угол COD равен 45°. Чему равны углы АОВ и АОС?

Решение. Углы COD и АОВ вертикальные, следовательно, по теореме 1.2 они равны, т. е. ∠ АОВ = 45°. Угол АОС смежный с углом COD, значит, по теореме 1.
∠ АОС = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Пример 3. Найти смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого.

Решение. Обозначим градусную меру меньшего угла через х. Тогда градусная мера большего угла будет Зх. Так как сумма смежных углов равна 180° (теорема 1), то х + Зх = 180°, откуда х = 45°.
Значит, смежные углы равны 45° и 135°.

Пример 4. Сумма двух вертикальных углов равна 100°. Найти величину каждого из четырех углов.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 2. Вертикальные углы COD к АОВ равны (теорема 2), значит, равны и их градусные меры. Поэтому ∠ COD = ∠ АОВ = 50° (их сумма по условию 100°). Угол BOD (также и угол АОС) смежный с углом COD, и, значит, по теореме 1
∠ BOD = ∠ АОС = 180° - 50° = 130°.

§ 1 Смежные углы. Определение, свойство

Рассмотрим развернутый угол АОВ, величина которого равна 180°. Проведем из вершины угла О луч ОС. Этот луч разделил развернутый угол на два угла АОС и ВОС. Такие углы называются смежными.

Определение: два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными.

Так как лучи ОА и ОВ образуют развернутый угол, то ∠АОС + ∠ВОС = ∠АОВ = 180°.

Значит, сумма смежных углов равна 180°. Запомним это важное свойство.

§ 2 Вертикальные углы. Определение, свойство

Предположим, что ученику предложили построить угол, равный данному углу АОВ, только с помощью линейки и карандаша. Он поступил так: построил лучи ОС и ОD, как продолжение соответственно лучам ОВ и ОА, и заявил, что угол СОD= углу АОВ. Прав ли он? Докажем, что он прав.

Чтобы установить равенство углов СОD и АОВ, т.е. углов 1 и 2, докажем, что их градусные меры равны. Угол 1 и угол DОВ смежные, значит, их сумма равна 180° (∠1 + ∠DОВ = 180°). Аналогично, угол 2 и угол ДОВ смежные, значит, и их сумма равна 180° (∠2 + ∠DОВ = 180°).

Из полученных равенств выразим угол 1 и угол 2, получаем:

∠1 = 180° - ∠DOВ,

∠2 = 180° - ∠DOВ.

Таким образом, градусные меры углов 1 и 2, т.е. углов СОD и АОВ равны. Ученик оказался прав. Эти углы называются вертикальными.

Определение: два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Запомним важное свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны.

§ 3 Перпендикулярные прямые

В жизни вы не раз встречались с четырьмя неразвернутыми углами, которые образуются при пересечении прямых. Выясним, какими углами окажутся все эти углы, если один из них будет прямым. Как называют в этом случае пересекающиеся прямые?

Построим прямой угол АОВ. Проведем лучи ОС и ОD, как продолжение лучам ОА и ОВ соответственно, получим две пересекающиеся прямые АС и ВD и четыре угла АОВ, АОD, СОD, СОВ. Угол АОВ равен углу ДОС как вертикальные. Так как угол АОВ = 90°, то и угол СОD= 90°, то есть прямой, тогда смежные углы СОВ и АОD также прямые (т.к. сумма смежных углов равна 180°). Таким образом, при пересечении двух прямых образовались четыре прямых угла. Эти прямые называются перпендикулярными.

Определение: две пересекающие прямые называются перпендикулярными(или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла.

О таких прямых также говорят, что они пересекаются под прямым углом. На чертеже прямой угол отмечают квадратом.

Перпендикулярность прямых записывается так: АС⊥ВD, читается: «прямая АС перпендикулярна к прямой ВD».

Отметим важное утверждение: две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.

Для проведения перпендикулярных прямых используют чертежный угольник и линейку.

В геодезии для построения прямых углов используют прибор теодолит.

§ 4 Решение задачи по теме урока

Рассмотрим задачу.

Задача: Один из смежных углов на 16° больше другого. Найти величину каждого угла.

Пусть меньший угол СОВ = х градусов, тогда угол АОС = х + 16°. Углы АОС и ВОС - смежные, значит, их сумма равна 180°.

Получаем: х + х + 16° = 180°

Решая это уравнение, находим неизвестное: х = 82°. Значит, угол СОВ = 82°, а угол АОС = 82° + 16° = 98°.

Ответ: угол ВОС = 82°, угол АОС = 98°.

Список использованной литературы:

1. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2013. – 383 с. : ил.
2. Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии 7 класс. - М.: «ВАКО», 2004, 288с. – (В помощь школьному учителю)
3. Белицкая О.В. Геометрия. 7 класс. Ч.1. Тесты. – Саратов: Лицей, 2014. – 64 с.

Геометрия - это весьма многогранная наука. Она развивает логику, воображение и интеллект. Конечно, из-за своей сложности и огромного количества теорем и аксиом, она не всегда нравится школьникам. Кроме этого, существует необходимость постоянно доказывать свои выводы, используя общепринятые стандарты и правила.

Смежные и вертикальные углы - это неотъемлемая составляющая геометрии. Наверняка многие школьники просто обожают их по той причине, что их свойства понятны и просты в доказательстве.

Образование углов

Любой угол образуется путем пересечения двух прямых или проведения двух лучей из одной точки. Они могут называться либо одной буквой, либо тремя, которые последовательно обозначают точки построения угла.

Углы измеряются в градусах и могут (в зависимости от их значения) по-разному называться. Так, существует прямой угол, острый, тупой и развернутый. Каждому из названий соответствует определенная градусная мера или ее промежуток.

Острым называется угол, мера которого не превышает 90 градусов.

Тупым является угол, превышающий 90 градусов.

Угол называется прямым в том случае, когда его градусная мера равна 90.

В том случае, когда он образован одной сплошной прямой, и его градусная мера равна 180, его называют развернутым.

Углы, имеющие общую сторону, вторая сторона которых продолжает друг друга, называются смежными. Они могут быть как острыми, так и тупыми. Пересечение линией образует смежные углы. Свойства их следующие:

1. Сумма таких углов будет равна 180 градусам (существует теорема, доказывающая это). Поэтому можно легко вычислить один из них, если известен другой.
2. Из первого пункта следует, что смежные углы не могут быть образованы двумя тупыми или двумя острыми углами.

Благодаря этим свойствам, можно всегда вычислить градусную меру угла, имея значение другого угла или, по крайней мере, отношение между ними.

Вертикальные углы

Углы, стороны которых являются продолжением друг друга, называются вертикальными. В качестве такой пары могут выступать любые их разновидности. Вертикальные углы всегда равны между собой.

Они образуются при пересечении прямых. Совместно с ними всегда присутствуют и смежные углы. Угол может быть одновременно смежным для одного и вертикальным для другого.

При пересечении произвольной линией также рассматривают еще несколько видов углов. Такая линия называется секущей, она и образует соответственные, односторонние и накрест лежащие углы. Они равны между собой. Их можно рассматривать в свете свойств, которые имеют вертикальные и смежные углы.

Таким образом, тема углов представляется довольно простой и понятной. Все их свойства легко запомнить и доказать. Решение задач не представляется сложным до тех пор, пока углам соответствует числовое значение. Уже дальше, когда начнется изучение sin и cos, придется запоминать множество сложных формул, их выводов и следствий. А до того времени можно просто наслаждаться легкими задачками, в которых необходимо найти смежные углы.

На данном уроке мы рассмотрим и уясним для себя понятие смежные углы. Рассмотрим теорему, которая их касается. Введем понятие «вертикальные углы». Рассмотрим опорные факты, касающиеся этих углов. Далее сформулируем и докажем два следствия об угле между биссектрисами вертикальных углов. В конце занятия рассмотрим несколько задач, посвященных этой теме.

Начнем наш урок с понятия «смежные углы». На рисунке 1 изображен развернутый угол ∠АОС и луч ОВ, который делит данный угол на 2 угла.

Рис. 1. Угол ∠АОС

Рассмотрим углы ∠АОВ и ∠ВОС. Вполне очевидно, что они имеют общую сторону ВО, а стороны АО и ОС являются противолежащими. Лучи ОА и ОС дополняют друг друга, а значит, они лежат на одной прямой. Углы ∠АОВ и ∠ВОС являются смежными.

Определение: Если два угла имеют общую сторону, а две другие стороны являются дополняющими лучами, то данные углы называются смежными .

Теорема 1: Сумма смежных углов - 180 о.

Рис. 2. Чертеж к теореме 1

∠МОL + ∠LON = 180 o . Данное утверждение является верным, так как луч OL делит развернутый угол ∠MON на два смежных угла. То есть мы не знаем градусных мер ни одного из смежных углов, а знаем лишь их сумму - 180 о.

Рассмотрим пересечение двух прямых. На рисунке изображено пересечение двух прямых в точке О.

Рис. 3. Вертикальные углы ∠ВОА и ∠СОD

Определение: Если стороны одного угла являются продолжением второго угла, то такие углы называются вертикальными. Именно поэтому на рисунке изображено две пары вертикальных углов: ∠АОВ и ∠СОD, а также ∠AOD и ∠ВОС.

Теорема 2: Вертикальные углы равны.

Используем рисунок 3. Рассмотрим развернутый угол ∠АОС. ∠АОВ = ∠АОС - ∠ВОС = 180 о - β. Рассмотрим развернутый угол ∠ВОD. ∠CОD = ∠BОD - ∠BОС = 180 о - β.

Из этих соображений мы делаем вывод, что ∠АОВ = ∠СОD = α. Аналогично, ∠AOD = ∠ВОС = β.

Следствие 1: Угол между биссектрисами смежных углов равен 90 о.

Рис. 4. Чертеж к следствию 1

Поскольку ОL - биссектриса угла ∠ВОА, то угол ∠LOB = , аналогично ∠ВОК = . ∠LOK = ∠LOB + ∠BOK = + = . Сумма углов α + β равна 180 о, поскольку данные углы - смежные.

Следствие 2: Угол между биссектрисами вертикальных углов равен 180 о.

Рис. 5. Чертеж к следствию 2

KO - биссектриса ∠AOB, LO - биссектриса ∠COD. Очевидно, что ∠KOL = ∠KOB + ∠BOC + ∠COL = o . Сумма углов α + β равна 180 о, так как данные углы - смежные.

Рассмотрим некоторые задачи:

Найдите угол, смежный с ∠АOС, если ∠АOС = 111 о.

Выполним чертеж к задаче:

Рис. 6. Чертеж к примеру 1

Поскольку ∠АОС = β и ∠СOD = α смежные углы, то α + β = 180 о. То есть 111 о + β = 180 о.

Значит, β = 69 о.

Этот тип задач эксплуатирует теорему о сумме смежных углов.

Один из смежных углов прямой, каким (острым, тупым или прямым) является другой угол?

Если один из углов прямой, а сумма двух углов 180 о, то и другой угол тоже прямой. Эта задача проверяет знания о сумме смежных углов.

Верно ли, что если смежные углы равны, то они прямые?

Составим уравнение: α + β = 180 о, но поскольку α = β, то β + β = 180 о, значит, β = 90 о.

Ответ: Да, утверждение верно.

Даны два равных угла. Верно ли, что и смежные им углы тоже будут равны?

Рис. 7. Чертеж к примеру 4

Если два угла равны α, то соответствующие им смежные углы будут 180 о - α. То есть они будут равны между собой.

Ответ: Утверждение верно.

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. - М.: Просвещение.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. - М.: Просвещение.
3. \Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под редакцией В.А. Садовничего. - М.: Просвещение, 2010.

1. Измерение отрезков ().
2. Обобщающий урок по геометрии в 7-м классе ().
3. Прямая линия, отрезок ().

1. № 13, 14. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под редакцией В.А. Садовничего. - М.: Просвещение, 2010.
2. Найдите два смежных угла, если один из них в 4 раза больше другого.
3. Дан угол. Постройте для него смежный и вертикальный углы. Сколько таких углов можно построить?
4. * В каком случае получается больше пар вертикальных углов: при пересечении трех прямых в одной точке или в трех точках?

Цели:

1. Дидактические:

проверить уровень освоенности учащимися темы «Смежные и вертикальные углы».

2. Воспитательные:

способствовать приобретению учащимися навыков общения при совместной работе;

активизировать их творческое мышление;

продолжить формирование мотивации обучающихся к изучению предмета.

3. Развивающие:

формировать личностные качества, направленные на доброжелательное, толерантное отношение к природе, людям, жизни;

способствовать развитию инициативы и самостоятельности в деятельности.

Тип урока: интегрированный урок – обобщения и систематизации ЗУН.

Оборудование:

компьютер;

проектор, экран;

магнитная доска;

раздаточный материал.

Подготовительный этап.

За две недели до проведения смотра на стенде в кабинете были вывешены вопросы, и задания аналогичные которым будут на смотре.

Оформление доски.

«Геометрия есть познание всего сущего», (Платон);

«В огромном саду геометрии каждый найдет букет себе по вкусу», (Д. Гильберт).

Заготовлен экран смотра знаний (по каждому виду работ). Экран вывешивается на видном месте. Один из членов жюри в течение смотра выставляет оценки за каждый вид работ. В конце урока выставляется итоговая оценка.

Ход общественного смотра знаний

Вступительное слово учителя. (Объявляет тему, ставит цель, проводит инструктаж хода смотра.)

План смотра.

I этап (работа по вариантам).

1 вариант работает фронтально по заданным вопросам.

2 вариант – решает задачи по карточкам.

II этап (работа по вариантам).

1 вариант самостоятельно решает задачи по карточкам.

2 вариант – работает фронтально по заданным вопросам.

III этап (работает весь класс).

Работа по геометрическим рисункам.

IV этап (работает весь класс).

Геометрический диктант.

V этап.

Аукцион одной задачи (найти как можно больше смежных углов, тот, кто назвал последний, получает приз).

VI этап.

Подведение итогов смотра. Разгадывают кроссворд (работа в парах).

Работа по вариантам (одна группа работает устно, вторая по карточкам).

Вариант 1 (работает устно).

Какие углы называются смежными?

Чему равна сумма смежных углов?

Докажите теорему о сумме смежных углов.

Какой угол называется прямым (острым, тупым)?

Верно ли, что угол смежный с тупым углом, – тупой; угол смежный с прямым углом, – прямой?

Какие углы называются вертикальными?

Расскажите теорему о вертикальных углах.

Докажите теорему о вертикальных углах.

Докажите, что если при пересечении двух прямых один из углов прямой, то остальные три угла тоже прямые.

Может ли при пересечении двух прямых образоваться четыре острых угла?

(Во время устной работы группы один ученик готовит (доказывает) у доски доказательство теоремы о сумме смежных углов.)

Вариант 2 (решает задачи).

Карточка №1.

Найдите смежные углы, если один из них в 4 раза больше другого.

Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых на 20 ° меньше другого. Найдите эти углы.

(Одна группа работает по карточкам, вторая устно.)

Вариант 1 (решает задачи).

Карточка №1.

Найдите смежные углы, если один из них в 5 раза меньше другого.

Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых на 40 ° больше другого. Найдите эти углы.

Вариант 2 (работает устно).

Какие углы называются смежными?

Чему равна сумма смежных углов?

Докажите теорему о сумме смежных углов.

Какой угол называется прямым (острым, тупым)?

Верно ли, что угол смежный с тупым углом, – тупой; угол смежный с прямым углом, – прямой?

Какие углы называются вертикальными?

Расскажите теорему о вертикальных углах.

Докажите теорему о вертикальных углах.

Докажите, что если при пересечении двух прямых один из углов прямой, то остальные три угла тоже прямые.

Может ли при пересечении двух прямых образоваться четыре острых угла?

(Во время устной работы группы один ученик готовит (доказывает) у доски доказательство теоремы о вертикальных углах.)

Работа по готовым геометрическим рисункам.

Вычисли углы:

Рисунок 1	Рисунок 2
Рисунок 3	Рисунок 4

Геометрический диктант (оба варианта пишут одновременно).

Выполните рисунок по описанию. Прямая а пересекает прямую в .

Обозначьте получившиеся углы.

Выпишите пары вертикальных углов.

Выпишите пары смежных углов.

Продолжи предложение:

если два угла равны, то смежные с ними углы …;

если угол не развернутый, то его градусная мера …

Нарисуй углы: прямой, тупой, острый.

Аукцион одной задачи.

Найди как можно больше смежных углов (рисунок 5). Тот, кто назвал последний, получает приз.

Рисунок 5

Пока комиссия подводит итоги, учащиеся разгадывают кроссворд.

Кроссворд.

Углы, стороны которых являются дополнительными полупрямыми.

Прямые, которые лежат в плоскости и не пересекаются.

Утверждение о свойствах фигур, которые необходимо доказывать.

Геометрическая фигура из двух лучей с общим началом.

Четырехугольник, у которого все углы – прямые.

Угол, равный 90 ° .

Части, на которые точка делит любую прямую.

Строгое логическое рассуждение.

Углы, имеющие общую сторону, а другие стороны – дополнительные полупрямые.

Инструмент для измерения углов.

Утверждение о свойствах фигур, которые принимают без доказательств.

Задачи по теме «Вертикальные и смежные углы».

Найдите углы смежные с углами 35 ° , 90 ° .

Найдите смежные углы, если один из них на 40 ° меньше другого.

Найдите смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого.

Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как 2:4.

Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равен 50 ° . Найдите эти углы.

Чему равен угол, если два смежных с ним угла составляют в сумме 200 ° .

Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых в 5 раз больше другого. Найдите эти углы.

Литература:

М. Е. Козина, О. М. Фадеева. Нетрадиционные уроки. Математика. 5-11 классы. – Волгоград: Учитель, 2006.

А.С. Белкин. Ситуация успеха. Как ее создать. – М.: «Просвещение», 1991.

А. В. Погорелов. «Геометрия. 7 – 9».

А. П. Ершова, В.В. Голобородько, А.С. Ершова. Алгебра. Геометрия. Самостоятельные и контрольные р