N 2 статья. Уголовный кодекс российской федерации. Раздел vi. иные меры уголовно-правового характера

Экспоненциальный рост

Если прирост численности популяции пропорционален количеству особей, численность популяции будет расти экспоненциально.

Выражение «экспоненциальный рост» вошло в наш лексикон для обозначения быстрого, как правило безудержного увеличения. Оно часто используется, например, при описании стремительного роста числа городов или увеличения численности населения. Однако в математике этот термин имеет точный смысл и обозначает определенный вид роста.

Экспоненциальный рост имеет место в тех популяциях, в которых прирост численности (число рождений минус число смертей) пропорционален числу особей популяции. Для популяции человека, например, коэффициент рождаемости примерно пропорционален количеству репродуктивных пар, а коэффициент смертности примерно пропорционален количеству людей в популяции (обозначим его ) . Тогда, в разумном приближении,

прирост населения = число рождений - число смертей

или
(Здесь - так называемый коэффициент пропорциональности, который позволяет нам записать выражение пропорциональности в виде уравнения.)

Пусть - число особей, добавившихся к популяции за время , тогда если в популяции в общей сложности особей, то условия для экспоненциального роста будут удовлетворены, если

После того как в XVII веке Исаак Ньютон изобрел дифференциальное исчисление, мы знаем, как решать это уравнение для - численности популяции в любое заданное время. (Для справки: такое уравнение называется дифференциальным.) Вот его решение:
где - число особей в популяции на начало отсчета, а - время, прошедшее с этого момента. Символ обозначает такое специальное число, оно называется основание натурального логарифма (и приблизительно равно 2,7), и вся правая часть уравнения называется экспоненциальная функция.

Чтобы лучше понять, что такое экспоненциальный рост, представьте себе популяцию, состоящую изначально из одной бактерии. Через определенное время (через несколько часов или минут) бактерия делится надвое, тем самым удваивая размер популяции. Через следующий промежуток времени каждая из этих двух бактерий снова разделится надвое, и размер популяции вновь удвоится - теперь будет уже четыре бактерии. После десяти таких удвоений будет уже более тысячи бактерий, после двадцати - более миллиона, и так далее. Если с каждым делением популяция будет удваиваться, ее рост будет продолжаться до бесконечности.

Существует легенда (скорее всего, не соответствующая действительности), будто бы человек, который изобрел шахматы, доставил этим такое удовольствие своему султану, что тот пообещал исполнить любую его просьбу. Человек попросил, чтобы султан положил на первую клетку шахматной доски одно зерно пшеницы, на вторую - два, на третью - четыре и так далее. Султан, посчитав это требование ничтожным по сравнению с оказанной им услугой, попросил своего поданного придумать другую просьбу, но тот отказался. Естественно, к 64-му удвоению число зерен стало таким, что во всем мире не нашлось бы нужного количества пшеницы, чтобы удовлетворить эту просьбу. В той версии легенды, которая известна мне, султан в этот момент приказал отрубить голову изобретателю. Мораль, как я говорю моим студентам, такова: иногда не следует быть чересчур умным!

Пример с шахматной доской (как и с воображаемыми бактериями) показывает нам, что никакая популяция не может расти вечно. Рано или поздно она попросту исчерпает ресурсы - пространство, энергию, воду, что угодно. Поэтому популяции могут расти по экспоненциальному закону лишь некоторое время, и рано или поздно их рост должен замедлиться. Для этого нужно изменить уравнение так, чтобы при приближении численности популяции к максимально возможной (которая может поддерживаться внешней средой) скорость роста замедлялась. Назовем эту максимальную численность популяции . Тогда видоизмененное уравнение будет выглядеть так:

Когда намного меньше , членом можно пренебречь, и мы возвращаемся к первоначальному уравнению обычного экспоненциального роста. Однако когда приближается к своему максимальному значению , значение стремится к нулю, соответственно стремится к нулю и прирост численности популяции. Общая численность популяции в этом случае стабилизируется и остается на уровне . Кривая, описываемая этим уравнением, а также само уравнение, имеют несколько названий - S-кривая , логистическое уравнение, уравнение Вольтерры, уравнение Лотки-Вольтерры. (Вито Вольтерра, 1860–1940 - выдающийся итальянский математик и преподаватель; Альфред Лотка, 1880–1949 - американский математик и страховой аналитик.) Как бы она ни называлась, это - достаточно простое выражение численности популяции, резко возрастающей экспоненциально, а затем замедляющейся при приближении к некоему пределу. И она гораздо лучше отражает рост численности реальных популяций, чем обычная экспоненциальная функция.

Отношения хищник-жертва

Отношения между хищниками и их жертвами развиваются циклически, являясь иллюстрацией нейтрального равновесия.

Иногда простая математическая модель хорошо описывает сложную биологическую систему. Примером этого служат долговременные отношения между видами хищника и жертвы в какой-либо экосистеме. Математические расчеты роста популяции отдельно взятого вида (см. выше) показывают, что пределы плотности популяции можно описать простыми уравнениями, которые на выходе дают характерную S-образную кривую. Это - кривая численности популяции, которая растет экспоненциально, пока она небольшая, а затем выравнивается, когда она достигает пределов возможности экосистемы поддерживать ее. Простое продолжение этой концепции позволяет нам понять экосистему, в которой взаимодействуют два вида - хищник и жертва.

Итак, если число растительноядных жертв , а число плотоядных хищников , то вероятность, что хищник встретится с травоядным, пропорциональна произведению . Другими словами, чем выше численность одного из видов, тем выше вероятность таких встреч. В отсутствие хищников популяция жертвы будет расти экспоненциально (по крайне мере вначале), а в отсутствие жертв популяция хищника сократится до нуля - либо из-за голода, либо в результате миграции. Теперь, если - изменение популяции растительноядных за время , а изменение популяции плотоядных за тот же интервал времени, то две популяции описываются уравнениями:

Здесь - скорость роста численности травоядных в отсутствие хищников, а - скорость сокращения численности плотоядных в отсутствие травоядных. Постоянные и - скорость, с которой встречи хищников с жертвами удаляют травоядных из популяции, и скорость, с которой эти встречи позволяют хищникам прибавлять численность своей популяции. Знак минус в первом уравнении показывает, что встречи сокращают популяцию жертвы, а знак плюс во втором говорит о том, что встречи увеличивают популяцию хищника. Как видите, любое изменение численности травоядных влияет на численность плотоядных, и наоборот. Две популяции необходимо рассматривать вместе.

Решение этих уравнений показывает, что обе популяции развиваются циклически. Если популяция травоядных увеличивается, вероятность встреч хищник-жертва возрастает, и, соответственно (после некоторой временной задержки), растет популяция хищников. Но рост популяции хищников приводит к сокращению популяции травоядных (также после некоторой задержки), что ведет к снижению численности потомства хищников, а это повышает число травоядных и так далее. Эти две популяции как бы танцуют вальс во времени - когда изменяется одна из них, за ней следом изменяется и другая.

Энциклопедия Джеймса Трефила «Природа науки. 200 законов мироздания».
Джеймс Трефил - профессор физики университета Джорджа Мэйсона (США), один из наиболее известных западных авторов научно-популярных книг.

Когда снежный ком катится с горы, он постоянно увеличивается. Чем больше он становится, тем быстрее катится, чем быстрее катится, тем быстрее растет.

Математики и физики очень любят описывать мир при помощи чисел. А еще больше - при помощи функций. Функция - это правило, по которому одному числу (например, x ) ставится в соответствие другое (например y ). Функции бывают простые, вроде y=10x или y=x 2 , а бывают посложнее вроде y=10*sin(7x2+3x-9) . Если вместо x и y подставить определенные физические параметры и найти функцию, которая их связывает, то получится закон природы.

Еще у функций есть производная. Это - скорость изменения функции. То есть то, насколько изменится y при небольшом изменении x . Например, в случае функции y=10x производная всегда постоянная: y всегда будет расти в 10 раз быстрее, чем x . А в случае функции y=x 2 производная будет меняться. Если мы увеличим x c 0 до 1, то y тоже увеличится с 0 до 1. А если увеличим x с 1 до 2, то y увеличится с 1 до 4. То есть, производная с ростом x увеличилась.

Экспонентой называется функция y=e x , где e - хитрое математическое число, которое примерно равно 2,72. Она обладает замечательным свойством: ее производная равна ей самой. То есть, если расстояние, которое проходит снежный ком, зависит от времени как экспонента, то и его скорость выражается той же самой экспонентой. Это свойство очень помогает математикам решать разные дифференциальные уравнения. Они очень любят с ней работать и стараются разные другие функции путем сдвига, растяжения, или переворачивания графика превратить в экспоненту. Все такие функции можно назвать экспоненциальными. У экспоненциально протекающих процессов есть одно общее свойство: за одинаковый интервал времени их параметры меняются в одинаковое число раз. Банковский вклад каждый год увеличивается на 7%, снежный ком за минуту увеличивается в три раза, а количество урана-235 на атомных электростанциях уменьшается вдвое каждые 700 миллионов лет. Экспоненциальные функции окружают нас повсюду. Экспоненциально развиваются все явления, в которых присутствует обратная связь, когда результат влияет на скорость процесса. В случае со снежным комом обратная связь положительная: чем больше результат, тем быстрее протекает процесс. А масса и скорость снежного кома y экспоненциально возрастают со временем x . Аналогично ведут себя деньги в банке при фиксированной процентной ставке. Чем больше денег, тем больше ежегодный прирост - и тем быстрее денег хватит на домик на Мальдивах. Так же увеличивается численность животных при отсутствии внешних угроз: чем больше популяция, тем больше размножающихся особей, тем быстрее она увеличивается. А еще, когда микрофон подносишь близко к динамику, то самый тихий шорох через секунду превратится в звонкий гул.

Бывает, что обратная связь отрицательная: чем больше результат, тем медленнее идет процесс. Например, когда мы голодны, мы начинаем быстро поглощать еду, но как только чувство голода уменьшается, мы начинаем есть спокойно, потом лениво доедаем десерт. Чай остывает тоже по экспоненте: чем больше разность температур между чаем и воздухом, тем быстрее он остывает. Так что, если вам надо срочно отвлечься на 15 минут, а горячего чаю выпить хочется - налейте в него холодного молока или воды. Тогда разница температур уменьшится, и чай не остынет так быстро, как если бы он был горячим.

Чем быстрее движется струна гитары, тем быстрее она тормозится о воздух, поэтому громкость звука после дерганья за струну экспоненциально уменьшается. Еще один пример - ядерный распад. Каждое ядро может распасться в случайный момент времени, но чем ядер больше, тем больше распадов будет происходить за одну минуту. Чем быстрее ядра распадаются, тем меньше их становится, а значит и интенсивность радиации со временем падает.

Одним из величайших мифов, на котором зиждилась экономика конца двадцатого столетия, был миф экспоненциального роста. Предполагалось, что технологии будут меняться еще быстрее, так что экономика тоже будет расти по экспоненте, сделав нас всех богаче наших родителей и несоизмеримо богаче наших прадедов. Однако, похоже, с 2000 года все пошло не так, по крайней мере, в экономике. Проблема частично связана с оттоком капитала в развивающиеся рынки, ставшим возможным благодаря Интернету и современным коммуникациям. Однако за рамками даже этой неудобной реальности лежит по-настоящему тревожная мысль о том, что технический прогресс, и таким образом, возможность улучшения уровня жизни, может вовсе и не вызывать никакого экспоненциального роста.

В видении нескольких энтузиастов вера в экспоненциальный технический прогресс трансформировалась в сингулярность, которая либо уже происходит, либо вот-вот нас настигнет. Предполагается, что она приведет к дальнейшей акселерации прогресса, которая будет такой мощной, что будущее истории человечества будет очень сильно отличаться от прошлого.

Но перед тем, как приветствовать появление сингулярности, следует отметить, что, по мнению сторонников этой теории, она будет вызвана появлением более умных, чем люди, машин, которые впоследствии одержат верх, создадут еще более умных роботов и оставят человечество «в хвосте». Таким образом, сингулярность будет представлять собой не почти бесконечное улучшение качества жизни человечества, потому что, по-видимому, такие сверхразумные машины не особенно будут интересоваться уровнем жизни людей – или вообще захотят использовать нас как подопытных или домашних животных. (Если последнее, я, несомненно, окажусь в первых рядах претендентов на ликвидацию – вряд ли я обладаю качествами домашнего животного, регулярно проявляемых нашей кошкой Евдоксией).

Подумав логически, можно выделить три сингулярности, уже имевших место в истории человечества: появление речи, переход от кочевой жизни к оседлому сельскому хозяйству, а впоследствии Промышленная революция. Каждое из этих явлений десятикратно ускоряло развитие человечества, так что изменения, на которые под влиянием одной только эволюции уходили миллионы лет, после появления речи начали происходить за сотни тысяч лет, с изобретением земледелия – за десятки тысяч лет, и всего за два-три столетия – после Промышленной революции. Каждое из этих изменений совершенно меняло жизнь; она также двигалась в более быстром темпе, а после Промышленной революции за одну короткую человеческую жизнь происходят громадные технологические сдвиги.

Стоит подробнее остановиться на сингулярности Промышленной революции. Она продолжалась примерно 200 лет, и ни одна из ее первых инновация не привносила существенных жизненных изменений. Машина Ньюкомена (Newcomen) для откачки воды в шахтах, изобретенная в 1712 году, не привела к серьезным изменениям напрямую, за ней не последовало никакого намного более совершенного двигателя, как у Джеймса Ватта (James Watt) , до 1769 года (а двигатели Уотта вошли в широкое применение лишь в 1790-е годы). Однако технологическая революция сопровождалась столь же важной революцией в человеческом мышлении, которая началась примерно с основания Королевского научного общества в 1662 году и продолжилась «Богатством наций » Адама Смита (Adam Smith) (в 1776 году) до начала 19-го века.

Таким образом, даже несмотря на то, что гражданин 1785 года не особенно наслаждался техническими достижениями по сравнению с его предком из 1660 года, в то время как веком раньше алхимики высмеивались на картине знаменитого Джозефа Райта (Joseph Wright), сейчас она служит обложкой для «Алхимиков потерь ». Первые громадные технические плоды Промышленной революции появились позднее – текстильное производство приняло масштаб, только начиная с 1790-х годов, а сеть железных дорог появилась только после 1830 года – но умственные изменения, сформировавшие сингулярность, уже произошли к 1785 году или около того.

В этом смысле нам пока не грозит никакая сингулярность. Интернет, кардинально изменивший мировые коммуникации и наш образ жизни, является не более существенным революционным сдвигом, чем электрический свет, телефон или автомобиль. Жизнь в 2010 году на самом деле отличается от жизни в 1995 году. Сегодня мы можем организовать мировое производство или компанию по оказанию услуг намного эффективнее, чем в 1995 году. Большую часть жизни вне сна молодежь проводит в Интернете или в разговорах по мобильному телефону, что до 1995 года она делать не могла.

Однако так было и через 15-20 лет после появления предыдущих судьбоносных технологий. В 1845 году, после изобретения железных дорог, модель путешествий уже отличалась от модели 1830 года. В 1905 году, после изобретения электричества, городские модели работы в вечернее время и развлечений очень сильно отличались от моделей 1890 года. Подобно этому, жизнь в сельской местности Америки в 1925 году с появлением «Жестянки Лиззи» (Ford Model T) стала совершенно иной, чем в 1910 году.

Таким образом, каждое из этих изобретений кардинально меняло какие-то стороны жизненного уклада, но при этом они все же не ускоряли сам процесс изобретения и прогресс, как Промышленная революция. После распространения изобретений жизнь становилась другой, но темп технического прогресса был весьма умеренным. Интернет похож на инновацию подобного типа: он существенно изменил нашу жизнь, но не настолько ускорил изменения, как Промышленная революция, и предпосылок к этому нет. В самом деле, кто-то может справедливо возразить, что поколение, ставшее свидетелем большей части революционных изменений, жило во времена моей двоюродной бабушки Беатрисы, которая родилась в 1889 году и умерла в 1973 году. Во времена ее детства применялось газовое освещение и тягловые лошади, а в старости уже вовсю летали на самолетах и побывали на Луне.

В перспективе существуют три вероятных технологических достижения, потенциально способных ускорить темп изменений, даже если они не вызовут сингулярности. Это: создание машины умнее человека, открытие методов манипуляций с генами, способных увеличить когнитивные способности человека, а также открытия технического, медицинского или генетического характера, которые могут привести к значительному увеличению продолжительности человеческой жизни.

Возможность появления супер-робота считалась самой популярной причиной предполагаемой сингулярности, но при ближайшем рассмотрении оказывается, что это вряд ли приведет к ней. Приверженцы теории сингулярности любят цитировать закон Мура – теорию, предложенную Гордоном Муром (Gordon Moore) в 1965 году, согласно которой компьютерная скорость обработки данных удваивается каждые два года. Однако в реальности мы всерьез приближаемся к пределу этой прогрессии; сдерживающими факторами являются скорость света, энергия, требуемая для работы микропроцессоров (которые выделяют тепло), длина волны электромагнитного излучения и размер атомных структур.

Через пару поколений по закону Мура мы приблизимся к временному барьеру, который существенно усложнит прогресс, а через 5-6 поколений по этому же закону – к барьеру постоянному, за которым при вообразимых на данный момент технологиях прогресс будет невозможен. Нужно признать, что дальнейший прогресс в сфере компьютерного интеллекта реализуем путем улучшения программирования и архитектуры с массовым параллелизмом, но реальность такова, что после прогресса 2015-2020 годов в этой области начнется существенное ЗАМЕДЛЕНИЕ, а не ускорение. Так же как и последним, действительно революционным изменением в дизайне автомобилей было изобретение автоматической трансмиссии в 1939 году, очевидно, бесконечный прогресс в машинном проектировании постепенно достигнет естественного предела.

Генная инженерия с целью улучшения умственных способностей человека, несомненно, изменит наш мир, но это, вероятно, случится очень нескоро, потому что таким изменениям будут резко противостоять большинство западных религиозных групп и правительств. Даже простое клонирование, которое является простым воспроизведением существующей особи, не намного продвинулось за десять лет, и может задержаться в развитии на целое поколение в будущем. Даже с разрешением правительств могут быть проведены проверки на безопасность, необходимые перед началом экспериментов по расширению интеллектуальных возможностей, существует вероятность того, что первые подобные испытания просто приведут к увеличению умственных способностей до существующего уровня, а не к их расширению. Кроме того, из-за биологической потребности этих детей в созревании до 15-летнего возраста, получения высшего образования в течение последующих 5-10 лет, результат этих изменений проявится не ранее чем через 50 лет в будущем. В этом смысле супер-робот, будь он реальным, может быть создан быстрее, так как он сразу будет взрослым! Учитывая тот факт, что первые экземпляры Улучшенного Человека будут составлять ничтожную часть человеческой/новой человеческой расы, становится очевидно, что никакого макро-ускорения отсюда не следует ожидать до следующего века.

Третья потенциальная технология, продление жизни, уже интереснее. Технически любой существенный эффект (помимо медицинских достижений, увеличивающих процент людей, доживающих до 90-100 лет), скорее всего, потребует подобных умений для производства жизни с более высоким уровнем интеллекта. Однако эта сфера столкнется с гораздо меньшим сопротивлением луддитов со стороны политиков и религиозных лидеров, так как преимущества более длинной жизни очевидны и теоретически универсальны. С другой стороны, увеличивать продолжительность жизни уже живущих будет гораздо сложнее, чем создавать новых людей-долгожителей, и скорее всего, это произойдет позднее.

Получается, что к 2050 году мы, вероятно, получим возможность рожать детей, которые будут жить 150-200 лет (то есть дольше, чем потребуется для обретения возможности преодолеть сдерживающие факторы, о которых мы еще не знаем, потому что они не затрагивают не-долгожителей). Через какое-то время после этого мы научимся хотя бы частично увеличивать продолжительность жизни уже существующих людей. Учитывая потенциальный массовый спрос на подобные технологии, они должны быстро распространиться среди большинства людей, так как массовое производство позволит снизить их стоимость до допустимого уровня.

Однако в то время как увеличение жизненного цикла намного улучшит жизнь человека, оно не ускорит прогресс. Долгожители не приступят к работе, по крайней мере, до 25 лет, потому что они будут получать более всестороннее образование, чем мы. Выйдя на работу, они будут менее склонны к риску и терпеливее нас, так как запаздывание будет поглощать меньшую часть оставшейся жизни. В свою очередь, даже без дальнейшей акселерации, им потребуется повторное образование каждые 20-25 лет, чтобы их рабочие навыки не успели безнадежно устареть. Так как расходы для них в условиях быстрых изменений будут больше, чем для нас, а преимущества – меньше, они сами захотят замедлить прогресс. Только в сочетании с более высоким уровнем интеллекта они будут способны принять головокружительный послереволюционный темп изменений.

На данный момент я рассматривал возможную акселерацию положительных изменений. Однако существует возможность катастрофически негативных перемен, которые способны вернуть цивилизацию, уровень жизни и знания на более примитивную ступень. Одним из возможных источников этого является мировая война, возможно, отличная от той, что была 50 лет назад. Еще одним фактором может быть экологическая катастрофа. Здесь ничего хорошего не предвидится. Нынешний неотвратимый рост населения, который, очевидно, замедлится, но не прекратится к 2050 году, усугубится открытиями, которые привели к росту продолжительности жизни до 200 лет, как из-за снижения количества смертей, так и из-за увеличения рождаемости благодаря тому, что способность к воспроизведению будет сохраняться в течение 100 лет. Является глобальное потепление серьезной проблемой в мире с населением от 7 до 10 млрд, еще вопрос, но оно, несомненно, превратится в серьезную проблему в мире с населением в 20 млрд человек (и истощение ресурсов будет, соответственно, представлять собой более реальную опасность). Соответственно, основным приоритетом должны быть меры для замедления роста населения или, даже лучше, возврата к сокращению. В конце концов, до последней сингулярности мировое население составляло всего 1 млрд; при таком уровне наши проблемы с окружающей средой и ресурсами исчезли бы.

Помимо возможности коллапса, две или три вероятных технологических разработки следующих 50 лет – достижение предела Закона Мура и увеличение продолжительности жизни – скорее, замедлят темп изменений, нежели ускорят его. Только третий вариант – генетически улучшенный интеллект – обладает потенциалом к ускорению прогресса, но системное противостояние этой технологии, вероятно, задержит ее очень надолго. Кривая развития человечества в 21-м веке, таким образом, будет асимптотической [ограниченной], а не экспоненциальной.