Как найти математическое ожидание и дисперсию. Вероятность и статистика – основные факты

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина может принимать только значения вероятности которых соответственно равны Тогда математическое ожидание случайной величины определяется равенством

Если дискретная случайная величина принимает счетное множество возможных значений, то

Причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Замечание. Из определения следует, что математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.

Определение математического ожидания в общем случае

Определим математическое ожидание случайной величины, распределение которой не обязательно дискретно. Начнем со случая неотрицательных случайных величин. Идея будет заключаться в том, чтобы аппроксимировать такие случайные величины с помощью дискретных, для которых математическое ожидание уже определено, а математическое ожидание положить равным пределу математических ожиданий приближающих ее дискретных случайных величин. Кстати, это очень полезная общая идея, состоящая в том, что некоторая характеристика сначала определяется для простых объектов, а затем для более сложных объектов она определяется с помощью аппроксимации их более простыми.

Лемма 1. Пусть есть произвольная неотрицательная случайная величина. Тогда существует последовательность дискретных случайных величин, таких, что

Доказательство. Разобьем полуось на равные отрезки длины и определим

Тогда свойства 1 и 2 легко следуют из определения случайной величины, и

Лемма 2. Пусть -неотрицательная случайная величина и и две последовательности дискретных случайных величин, обладающих свойствами 1-3 из леммы 1. Тогда

Доказательство. Отметим, что для неотрицательных случайных величин мы допускаем

В силу свойства 3 легко видеть, что существует последовательность положительных чисел, такая что

Отсюда следует, что

Используя свойства математических ожиданий для дискретных случайных величин, получаем

Переходя к пределу при получаем утверждение леммы 2.

Определение 1. Пусть - неотрицательная случайная величина, -последовательность дискретных случайных величин, обладающих свойствами 1-3 из леммы 1. Математическим ожиданием случайной величины называется число

Лемма 2 гарантирует, что не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности.

Пусть теперь - произвольная случайная величина. Определим

Из определения и легко следует, что

Определение 2. Математическим ожиданием произвольной случайной величины называется число

Если хотя бы одно из чисел в правой части этого равенства конечно.

Свойства математического ожидания

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

Доказательство. Будем рассматривать постоянную как дискретную случайную величину, которая имеет одно возможное значение и принимает его с вероятностью следовательно,

Замечание 1. Определим произведение постоянной величины на дискретную случайную величину как дискретную случайную возможные значения которой равны произведениям постоянной на возможные значения; вероятности возможных значений равны вероятностям соответствующих возможных значений Например, если вероятность возможного значения равна то вероятность того, что величина примет значение также равна

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

Доказательство. Пусть случайная величина задана законом распределения вероятностей:

Учитывая замечание 1, напишем закон распределения случайной величины

Замечание 2. Прежде, чем перейти к следующему свойству, укажем, что две случайные величины называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины зависимы. Несколько случайных величин называют взаимно независимыми, если законы распределения любого числа их них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Замечание 3. Определим произведение независимых случайных величин и как случайную величину возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения на каждое возможное значение вероятности возможных значений произведения равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей. Например, если вероятность возможного значения равна, вероятность возможного значения равна то вероятность возможного значения равна

Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

Доказательство. Пусть независимые случайные величины и заданы своими законами распределения вероятностей:

Составим все значения, которые может принимать случайная величина Для этого перемножим все возможные значения на каждое возможное значение; в итоге получим и учитывая замечание 3, напишем закон распределения предполагая для простоты, что все возможные значения произведения различны (если это не так, то доказательство проводится аналогично):

Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности:

Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

Доказательство. Пусть случайные величины и заданы следующими законами распределения:

Составим все возможные значения величины Для этого к каждому возможному значению прибавим каждое возможное значение; получим Предположим для простоты, что эти возможные значения различны (если это не так, то доказательство проводится аналогично), и обозначим их вероятности соответственно через и

Математическое ожидание величины равно сумме произведений возможных значений на их вероятности:

Докажем, что Событие, состоящее в том, что примет значение (вероятность этого события равна), влечет за собой событие, которое состоит в том, что примет значение или (вероятность этого события по теореме сложения равна), и обратно. Отсюда и следует, что Аналогично доказываются равенства

Подставляя правые части этих равенств в соотношение (*), получим

или окончательно

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена.

На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения случайной величины и затем найти их среднее значение. Однако такой путь ничего не даст, так как среднее значение отклонения, т.е. для любой случайной величины равно нулю. Это свойство объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, а другие - отрицательны; в результате их взаимного погашения среднее значение отклонения равно нулю. Эти соображения говорят о целесообразности заменить возможные отклонения их абсолютными значениями или их квадратами. Так и поступают на деле. Правда, в случае, когда возможные отклонения заменяют их абсолютными значениями, приходится оперировать с абсолютными величинами, что приводит иногда к серьезным затруднениям. Поэтому чаще всего идут по другому пути, т.е. вычисляют среднее значение квадрата отклонения, которое и называется дисперсией.

Математическим ожиданием (средним значением) случайной величины X , заданной на дискретном вероятностном пространстве, называется число m =M[X]=∑x i p i , если ряд сходится абсолютно.

Назначение сервиса . С помощью сервиса в онлайн режиме вычисляются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение (см. пример). Кроме этого строится график функции распределения F(X) .

Свойства математического ожидания случайной величины

1. Математическое ожидание постоянной величины равно ей самой: M[C]=C , C – постоянная;
2. M=C M[X]
3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M=M[X]+M[Y]
4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M=M[X] M[Y] , если X и Y независимы.

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(c)=0.
2. Постоянный множитель можно вынести из-под знака дисперсии, возведя его в квадрат: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия суммы равна сумме дисперсий: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Если случайные величины X и Y зависимы: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Для дисперсии справедлива вычислительная формула:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Пример . Известны математические ожидания и дисперсии двух независимых случайных величин X и Y: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Найти математическое ожидание и дисперсию случайное величины Z=9X-8Y+7 .
Решение. Исходя из свойств математического ожидания: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Исходя из свойств дисперсии: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Алгоритм вычисления математического ожидания

Свойства дискретных случайных величин: все их значения можно перенумеровать натуральными числами; каждому значению сопоставить отличную от нуля вероятность.

1. Поочередно умножаем пары: x i на p i .
2. Складываем произведение каждой пары x i p i .
   Например, для n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Функция распределения дискретной случайной величины ступенчатая, она возрастает скачком в тех точках, вероятности которых положительны.

Пример №1 .

x i	1	3	4	7	9
p i	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

Математическое ожидание находим по формуле m = ∑x i p i .
Математическое ожидание M[X] .
M[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
Дисперсию находим по формуле d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Дисперсия D[X] .
D[X] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
Среднее квадратическое отклонение σ(x) .
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78

Пример №2 . Дискретная случайная величина имеет следующий ряд распределения:

Х	-10	-5	0	5	10
р	а	0,32	2a	0,41	0,03

Найти величину a , математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Решение. Величину a находим из соотношения: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 или 0.24=3 a , откуда a = 0.08

Пример №3 . Определить закон распределения дискретной случайной величины, если известна её дисперсия, причем х 1 x 1 =6; x 2 =9; x 3 =x; x 4 =15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96

Решение.
Здесь надо составить формулу нахождения дисперсии d(x) :
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
где матожидание m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Для наших данных
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0.1x 3) 2
или -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Соответственно надо найти корни уравнения, причем их будет два.
x 3 =8, x 3 =12
Выбираем тот, который удовлетворяет условию х 1 x 3 =12

Закон распределения дискретной случайной величины
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3

– количество мальчиков среди 10 новорождённых.

Совершенно понятно, что это количество заранее не известно, и в очередном десятке родившихся детей может оказаться:

Либо мальчиков – один и только один из перечисленных вариантов.

И, дабы соблюсти форму, немного физкультуры:

– дальность прыжка в длину (в некоторых единицах) .

Её не в состоянии предугадать даже мастер спорта:)

Тем не менее, ваши гипотезы?

2) Непрерывная случайная величина – принимает все числовые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Примечание : в учебной литературе популярны аббревиатуры ДСВ и НСВ

Сначала разберём дискретную случайную величину, затем – непрерывную .

Закон распределения дискретной случайной величины

– этосоответствие между возможными значениями этой величины и их вероятностями. Чаще всего закон записывают таблицей:

Довольно часто встречается термин ряд распределения , но в некоторых ситуациях он звучит двусмысленно, и поэтому я буду придерживаться «закона».

А теперь очень важный момент : поскольку случайная величина обязательно примет одно из значений , то соответствующие события образуют полную группу и сумма вероятностей их наступления равна единице:

или, если записать свёрнуто:

Так, например, закон распределения вероятностей выпавших на кубике очков имеет следующий вид:

Без комментариев.

Возможно, у вас сложилось впечатление, что дискретная случайная величина может принимать только «хорошие» целые значения. Развеем иллюзию – они могут быть любыми:

Пример 1

Некоторая игра имеет следующий закон распределения выигрыша:

…наверное, вы давно мечтали о таких задачах:) Открою секрет – я тоже. В особенности после того, как завершил работу над теорией поля .

Решение : так как случайная величина может принять только одно из трёх значений, то соответствующие события образуют полную группу , а значит, сумма их вероятностей равна единице:

Разоблачаем «партизана»:

– таким образом, вероятность выигрыша условных единиц составляет 0,4.

Контроль: , в чём и требовалось убедиться.

Ответ :

Не редкость, когда закон распределения требуется составить самостоятельно. Для этого используют классическое определение вероятности , теоремы умножения / сложения вероятностей событий и другие фишки тервера :

Пример 2

В коробке находятся 50 лотерейных билетов, среди которых 12 выигрышных, причём 2 из них выигрывают по 1000 рублей, а остальные – по 100 рублей. Составить закон распределения случайной величины – размера выигрыша, если из коробки наугад извлекается один билет.

Решение : как вы заметили, значения случайной величины принято располагать в порядке их возрастания . Поэтому мы начинаем с самого маленького выигрыша, и именно рублей.

Всего таковых билетов 50 – 12 = 38, и по классическому определению :
– вероятность того, что наудачу извлечённый билет окажется безвыигрышным.

С остальными случаями всё просто. Вероятность выигрыша рублей составляет:

Проверка: – и это особенно приятный момент таких заданий!

Ответ : искомый закон распределения выигрыша:

Следующее задание для самостоятельного решения:

Пример 3

Вероятность того, что стрелок поразит мишень, равна . Составить закон распределения случайной величины – количества попаданий после 2 выстрелов.

…я знал, что вы по нему соскучились:) Вспоминаем теоремы умножения и сложения . Решение и ответ в конце урока.

Закон распределения полностью описывает случайную величину, однако на практике бывает полезно (а иногда и полезнее) знать лишь некоторые её числовые характеристики .

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Говоря простым языком, это среднеожидаемое значение при многократном повторении испытаний. Пусть случайная величина принимает значения с вероятностями соответственно. Тогда математическое ожидание данной случайной величины равно сумме произведений всех её значений на соответствующие вероятности:

или в свёрнутом виде:

Вычислим, например, математическое ожидание случайной величины – количества выпавших на игральном кубике очков:

Теперь вспомним нашу гипотетическую игру:

Возникает вопрос: а выгодно ли вообще играть в эту игру? …у кого какие впечатления? Так ведь «навскидку» и не скажешь! Но на этот вопрос можно легко ответить, вычислив математическое ожидание, по сути – средневзвешенный по вероятностям выигрыш:

Таким образом, математическое ожидание данной игры проигрышно .

Не верь впечатлениям – верь цифрам!

Да, здесь можно выиграть 10 и даже 20-30 раз подряд, но на длинной дистанции нас ждёт неминуемое разорение. И я бы не советовал вам играть в такие игры:) Ну, может, только ради развлечения .

Из всего вышесказанного следует, что математическое ожидание – это уже НЕ СЛУЧАЙНАЯ величина.

Творческое задание для самостоятельного исследования:

Пример 4

Мистер Х играет в европейскую рулетку по следующей системе: постоянно ставит 100 рублей на «красное». Составить закон распределения случайной величины – его выигрыша. Вычислить математическое ожидание выигрыша и округлить его до копеек. Сколько в среднем проигрывает игрок с каждой поставленной сотни?

Справка : европейская рулетка содержит 18 красных, 18 чёрных и 1 зелёный сектор («зеро»). В случае выпадения «красного» игроку выплачивается удвоенная ставка, в противном случае она уходит в доход казино

Существует много других систем игры в рулетку, для которых можно составить свои таблицы вероятностей. Но это тот случай, когда нам не нужны никакие законы распределения и таблицы, ибо доподлинно установлено, что математическое ожидание игрока будет точно таким же. От системы к системе меняется лишь

Следующим по важности свойством случайной величины вслед за математическим ожиданием является ее дисперсия, определяемая как средний квадрат отклонения от среднего:

Если обозначить через то дисперсия VX будет ожидаемым значением Это характеристика „разброса" распределения X.

В качестве простого примера вычисления дисперсии предположим, что нам только что сделали предложение, от которого мы не в силах отказаться: некто подарил нам два сертификата для участия в одной лотерее. Устроители лотереи продают каждую неделю по 100 билетов, участвующих в отдельном тираже. В тираже выбирается один их этих билетов посредством равномерного случайного процесса - каждый билет имеет равные шансы быть выбранным - и обладатель этого счастливого билета получает сто миллионов долларов. Остальные 99 владельцев лотерейных билетов не выигрывают ничего.

Мы можем использовать подарок двумя способами: купить или два билета в одной лотерее, или по одному для участия в двух разных лотереях. Какая стратегия лучше? Попытаемся провести анализ. Для этого обозначим через случайные величины, представляющие размер нашего выигрыша по первому и второму билету. Ожидаемое значение в миллионах, равно

и то же самое справедливо для Ожидаемые значения аддитивны, поэтому наш средний суммарный выигрыш составит

независимо от принятой стратегии.

Тем не менее, две стратегии выглядят различными. Выйдем за рамки ожидаемых значений и изучим полностью распределение вероятностей

Если мы купим два билета в одной лотерее, то наши шансы не выиграть ничего составят 98% и 2% - шансы на выигрыш 100 миллионов. Если же мы купим билеты на разные тиражи, то цифры будут такими: 98.01% - шанс не выиграть ничего, что несколько больше, чем ранее; 0.01% - шанс выиграть 200 миллионов, также чуть больше, чем было ранее; и шанс выиграть 100 миллионов теперь составляет 1.98%. Таким образом, во втором случае распределение величины несколько более разбросано; среднее значение, 100 миллионов долларов, несколько менее вероятно, тогда как крайние значения более вероятны.

Именно это понятие разброса случайной величины призвана отразить дисперсия. Мы измеряем разброс через квадрат отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Таким образом, в случае 1 дисперсия составит

в случае 2 дисперсия равна

Как мы и ожидали, последняя величина несколько больше, поскольку распределение в случае 2 несколько более разбросано.

Когда мы работаем с дисперсиями, то все возводится в квадрат, так что в результате могут получиться весьма большие числа. (Множитель есть один триллион, это должно впечатлить

даже привычных к крупным ставкам игроков.) Для преобразования величин в более осмысленную исходную шкалу часто извлекают квадратный корень из дисперсии. Полученное число называется стандартным отклонением и обычно обозначается греческой буквой а:

Стандартные отклонения величины для наших двух лотерейных стратегий составят . В некотором смысле второй вариант примерно на 71247 долларов рискованнее.

Каким образом дисперсия помогает в выборе стратегии? Это не ясно. Стратегия с большей дисперсией рискованнее; но что лучше для нашего кошелька - риск или безопасная игра? Пусть у нас есть возможность купить не два билета, а все сто. Тогда мы могли бы гарантировать выигрыш в одной лотерее (и дисперсия была бы нулевой); или же можно было сыграть в сотне разных тиражей, ничего не получая с вероятностью зато имея ненулевой шанс на выигрыш вплоть до долларов. Выбор одной из этих альтернатив лежит за рамками этой книги; все, что мы можем сделать здесь,- это объяснить, как произвести подсчеты.

В действительности имеется более простой способ вычисления дисперсии, чем прямое использование определения (8.13). (Есть все основания подозревать здесь какую-то скрытую от глаз математику; иначе с чего бы дисперсия в лотерейных примерах оказалась целым кратным Имеем

поскольку - константа; следовательно,

„Дисперсия есть среднее значение квадрата минус квадрат среднего значения"

Например, в задаче про лотерею средним значением оказывается или Вычитание (квадрата среднего) дает результаты, которые мы уже получили ранее более трудным путем.

Есть, однако, еще более простая формула, применимая, когда мы вычисляем для независимых X и Y. Имеем

поскольку, как мы знаем, для независимых случайных величин Следовательно,

„Дисперсия суммы независимых случайных величин равняется сумме их дисперсий" Так, например, дисперсия суммы, которую можно выиграть на один лотерейный билет, равняется

Следовательно, дисперсия суммарного выигрыша по двум лотерейным билетам в двух различных (независимых) лотереях составит Соответствующее значение дисперсии для независимых лотерейных билетов будет

Дисперсия суммы очков, выпавших на двух кубиках, может быть получена по той же формуле, поскольку есть сумма двух независимых случайных величин. Имеем

для правильного кубика; следовательно, случае смещенного центра масс

следовательно, если у обоих кубиков центр масс смещен. Заметьте, что в последнем случае дисперсия больше, хотя принимает среднее значение 7 чаще, чем в случае правильных кубиков. Если наша цель - выбросить побольше приносящих удачу семерок, то дисперсия - не лучший показатель успеха.

Ну хорошо, мы установили, как вычислить дисперсию. Но мы пока не дали ответа на вопрос, почему надо вычислять именно дисперсию. Все так делают, но почему? Основная причина заключается в неравенстве Чебышева которое устанавливает важное свойство дисперсии:

(Это неравенство отличается от неравенств Чебышёва для сумм, встретившихся нам в гл. 2.) На качественном уровне (8.17) утверждает, что случайная величина X редко принимает значения, далекие от своего среднего если ее дисперсия VX мала. Доказательство

тельство необычайно просто. Действительно,

деление на завершает доказательство.

Если мы обозначим математическое ожидание через а стандартное отклонение - через а и заменим в (8.17) на то условие превратится в следовательно, мы получим из (8.17)

Таким образом, X будет лежать в пределах -кратного стандартного отклонения от своего среднего значения за исключением случаев, вероятность которых не превышает Случайная величина будет лежать в пределах 2а от по крайней мере для 75% испытаний; в пределах от до - по крайней мере для 99%. Это случаи неравенства Чебышёва.

Если бросить пару кубиков раз, то общая сумма очков во всех бросаниях почти всегда, при больших будет близка к Причина этого следующая: дисперсия независимых бросаний составит Дисперсия в означает стандартное отклонение всего

Поэтому из неравенства Чебышёва получаем, что сумма очков будет лежать между

по крайней мере для 99% всех бросаний правильных кубиков. Например, итог миллиона бросаний с вероятностью более 99% будет заключен между 6.976 млн и 7.024 млн.

В общем случае, пусть X - любая случайная величина на вероятностном пространстве П, имеющая конечное математическое ожидание и конечное стандартное отклонение а. Тогда можно ввести в рассмотрение вероятностное пространство Пп, элементарными событиями которого являются -последовательности где каждое , а вероятность определяется как

Если теперь определить случайные величины формулой

то величина

будет суммой независимых случайных величин, которая соответствует процессу суммирования независимых реализаций величины X на П. Математическое ожидание будет равно а стандартное отклонение - ; следовательно, среднее значение реализаций,

будет лежать в пределах от до по крайней мере в 99% временного периода. Иными словами, если выбрать достаточно большое то среднее арифметическое независимых испытаний будет почти всегда очень близко к ожидаемому значению (В учебниках теории вероятностей доказывается еще более сильная теорема, называемая усиленным законом больших чисел; но нам достаточно и простого следствия неравенства Чебышёва, которое мы только что вывели.)

Иногда нам не известны характеристики вероятностного пространства, но требуется оценить математическое ожидание случайной величины X при помощи повторных наблюдений ее значения. (Например, нам могла бы понадобиться средняя полуденная температура января в Сан-Франциско; или же мы хотим узнать ожидаемую продолжительность жизни, на которой должны основывать свои расчеты страховые агенты.) Если в нашем распоряжении имеются независимые эмпирические наблюдения то мы можем предположить, что истинное математическое ожидание приблизительно равно

Можно оценить и дисперсию, используя формулу

Глядя на эту формулу, можно подумать, что в ней - типографская ошибка; казалось бы, там должно стоять как в (8.19), поскольку истинное значение дисперсии определяется в (8.15) через ожидаемые значения. Однако замена здесь на позволяет получить лучшую оценку, поскольку из определения (8.20) вытекает, что

Вот доказательство:

(В этой выкладке мы опираемся на независимость наблюдений, когда заменяем на )

На практике для оценки результатов эксперимента со случайной величиной X обычно вычисляют эмпирическое среднее и эмпирическое стандартное отклонение после чего записывают ответ в виде Вот, например, результаты бросаний пары кубиков, предположительно правильных.

Математическое ожидание – это среднее значение случайной величины.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

Пример.

X -4 6 10
р 0,2 0,3 0,5

Решение: Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений X на их вероятности:

М (X) = 4*0,2 + 6*0,3 +10*0,5 = 6.

Для вычисления математического ожидания удобно расчеты проводить в Excel (в особенности когда данных много), предлагаем воспользоваться готовым шаблоном ().

Пример для самостоятельного решения (можете применить калькулятор).
Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:

X 0,21 0,54 0,61
р 0,1 0,5 0,4

Математическое ожидание обладает следующими свойствами.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С)=С.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ)=СМ(Х).

Свойство 3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей: М (Х1Х2 ...Хп)=М (X1) М {Х2)*. ..*М (Xn)

Свойство 4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: М(Хг + Х2+...+Хn) = М{Хг)+М(Х2)+…+М(Хn).

Задача 189. Найти математическое ожидание случайной вели­ чины Z, если известны математические ожидания X н Y: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;

Решение: Используя свойства математического ожидания (математическое ожидание суммы равно сумме математических ожи­даний слагаемых; постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания), получим M(Z)=M(X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M(X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.

190. Используя свойства мaтематического ожидания, доказать, что: а) М(Х - Y) = M(X)-М (Y); б) математическое ожидание отклонения X-M(Х) равно нулю.

191. Дискретная случайная величина X принимает три возможных значения: x1= 4 С вероятностью р1 = 0,5; xЗ = 6 С вероятностью P2 = 0,3 и x3 с вероятностью р3. Найти: x3 и р3, зная, что М(Х)=8.

192. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: x1 = -1, х2 = 0, x3= 1 также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: M(Х) = 0,1, М(Х^2)=0,9. Найти вероятности p1, p2,p3 соответствующие возможным значениям xi

194. В партии из 10 деталей содержится три нестандартных. Наудачу отобраны две детали. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X - числа нестандартных деталей среди двух отобранных.

196. Найти математическое ожидание дискретной слу­чайной величины X-числа таких бросаний пяти игральных костей, в каждом из которых на двух костях по­ явится по одному очку, если общее число бросаний равно двадцати.

Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании: