Главная Апелляционная жалоба Что производственная функция. Производственная функция и выбор оптимального размера производства

Что производственная функция. Производственная функция и выбор оптимального размера производства

Другим видом производственной функции является линейная производственная функция, которая имеет следующий вид:

Q(L,K) = aL + bK

Данная производственная функция является однородной первой степени, следовательно, она имеет постоянную отдачу от масштабов производства. Графически данная функция представлена на рисунке 1.2, а.

Экономический смысл линейной производственной функции состоит в том, что она описывает такое производство, в котором факторы являются взаимозаменяемыми, то есть, не имеет значения – использовать только труд или только капитал. Но в реальной жизни такая ситуация практически не возможна, так как любая машина все равно обслуживается человеком.

Коэффициенты a и b функции, которые находятся при переменных L и Kпоказывают пропорции, в которых один фактор может быть замещён другим. Например, если a=b=1, то это значит, что 1 час труда может быть заменен 1 часом машинного времени для того, чтобы произвести такой же объём продукции.

Необходимо отметить, что в некоторых видах хозяйственной деятельности труд и капитал вообще не могут заменить друг друга и должны использоваться в фиксированной пропорции: 1 рабочий - 2 станка, 1 автобус - 1 водитель. В этом случае эластичность замещения факторов равна нулю, а технология производства отображается производственной функцией Леонтьева:

Q(L,K) = min{; },

Если, например, на каждом автобусе дальнего следования должно быть два водителя, то при наличии в автобусном парке 50 автобусов и 90 водителей одновременно могут обслуживаться только 45 маршрутов:
min{90/2;50/1} = 45.

Приложение

Примеры решения задач с использованием производственных функций

Задача 1

Фирма, занимающаяся речными перевозками, использует труд перевозчиков (L) и паромы (K). Производственная функция имеет вид . Цена единицы капитала равна 20, цена единицы труда равна 20. Каков будет наклон изокосты? Какое количество труда и капитала должна привлечь фирма для осуществления 100 перевозок?

Решение

Изокоста задается уравнением:

где C - величина общих издержек (некоторая константа). Отсюда:

т.е. наклон этой прямой равен -1 .

Оптимальное количество труда и капитала для 100 перевозок определяется как точка касания изокванты и изокосты при некотором C . Решая уравнение изокванты получаем:

√(L×K) = 100/10 = 10, тогда .

Тогда . Так как общие издержки при этом должны быть минимальны, то, минимизируя C по L , найдем количество труда L: и . Количество капитала найдем по формуле .

Ответ: Для осуществления 100 перевозок фирма должна привлечь 10 единиц труда и 10 единиц капитала.

Задача 2

Производственная функция имеет вид , где Y - количество продукции за день,L - часы труда, K - часы работы машин. Предположим, что в день затрачивается 9 часов труда и 9 часов работы машин.

Каково максимальное количество продукции, произведенной за день? Предположим, что фирма удвоила затраты обоих факторов. Определите эффект масштаба производства.

Решение

В условиях задачи в день производится единиц продукции. Если затраты обоих факторов удваиваются, то выпуск становится равным , т.е. тоже удваивается. Тогда и эффект от изменения масштаба производства, определяемый из условия , равен единице.

Задача 3

В краткосрочном периоде производственная функция фирмы имеет вид: , где L - число рабочих. При каком уровне занятости общий выпуск будет максимальным?

Решение

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно найти точку максимума функции Y(L) . Продифференцируем ее по L и приравняем производную к нулю: . Получаем квадратное уравнение, дискриминант которого , а корни . Поскольку один из корней отрицательный, берем . Количество рабочих - целое число, поэтому, округляя, получаем .

Заключение

Ресурсы в экономике выступают в качестве факторов производства, к которым относятся:

2. земля (природные ресурсы);

3. капитал;

4. предпринимательская способность;

5. научно-технический прогресс.

Все эти факторы тесно взаимосвязаны между собой.

Производственная функция – это математическая зависимость между максимальным объемом выпуска продукции в единицу времени и комбинацией факторов, его создающих, при имеющемся уровне знаний и технологий. При этом главная задача математической экономики с практической точки зрения состоит в выявлении этой зависимости, то есть, в построении производственной функции для конкретной отрасли или конкретного предприятия.

В теории производства в основном используют двухфакторную производственную функцию, которая в общем виде выглядит так:

Q = f (K , L), где Q - объем производства; К - капитал; L – труд.

Вопрос соотношения затрат замещающих друг друга факторов производства решается при помощи такого понятия, как эластичность замещения факторов производства.

Эластичность замещения – это соотношение затрат замещающих друг друга факторов производства при неизменном объёме выпуска продукции. Это своего рода коэффициент, который показывает степень эффективности замещения одного фактора производства другим.

Мерой взаимозаменяемости факторов производства служит предельная норма технического замещения MRTS, которая показывает, на сколько единиц можно уменьшить один из факторов при увеличении другого фактора на единицу, сохраняя выпуск неизменным.

Изокванта - кривая, представляющая собой всевозможные сочетания двух издержек, обеспечивающих заданный постоянный объем производства.

Денежные средства как правило ограничены. Линия, образуемая множеством точек, показывающих какое количество сочетающихся факторов производства или ресурсов можно приобрести при имеющихся денежных средствах, называется изокостой. Таким образом, оптимальным сочетанием факторов для конкретного предприятия является общее решение уравнений изокосты и изокванты. Графически – это точка касания линий изокосты и изокванты.

Производственная функция может быть записана в самых различных алгебраических формах. Как правило, экономисты работают с линейно однородными производственными функциями.

В работе также были рассмотрены конкретные примеры решения задач с применением производственных функций, которые позволили сделать вывод о их большой практической значимости в экономической деятельности любого предприятия.

Список используемой литературы

1. Доугерти К. Введение в эконометрику. – М.: Финансы и статистика, 2001.

2. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.П. Математические методы в экономике: Учебник. – М.: Изд. «ДИС», 1997.

3. Курс экономической теории: учебник. – Киров: «АСА», 1999.

4. Микроэкономика. Под ред. Проф. Яковлевой Е.Б. – М.: СПб. Поиск, 2002.

5. Салманов О. Математическая экономика. – М.: BHV, 2003.

6. Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике. – М.: Финансы и статистика, 2004.

7. Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе. – М.: Юнити-Дана, 2000.

1 Большой коммерческий словарь./Под редакцией Рябовой Т.Ф. – М.: Война и мир, 1996. С. 241.

Характеризует зависимость между количеством используемых ресурсов () и максимально возможным объемом выпуска, который может быть достигнут при условии, что все имеющиеся ресурсы используются наиболее рациональным образом.

Производственная функция обладает следующими свойствами:

1. Существует предел увеличения производства, который может быть достигнут при увеличении одного ресурса и постоянстве прочих ресурсов. Если, например, в сельском хозяйстве увеличивать количество труда при постоянных количествах капитала и земли, то рано или поздно наступает момент, когда выпуск перестает расти.

2. Ресурсы дополняют друг друга, но в определенных пределах возможна и их взаимозаменяемость без сокращения выпуска. Ручной труд, например, может заменяться использованием большего количества машин, и наоборот.

3. Чем длиннее временной период, тем большее количество ресурсов может быть пересмотрено. В этой связи различают мгновенный, короткий и длительный периоды. Мгновенный период — период, когда все ресурсы являются фиксированными. Короткий период — период, когда, по крайней мере, один ресурс является фиксированным. Длительный период - период, когда все ресурсы являются переменными.

Обычно в микроэкономике анализируется двухфакторная производственная функция, отражающая зависимость выпуска (q) от количества используемых труда () и капитала (). Напомним, что под капиталом понимаются средства производства, т.е. количество машин и оборудования, используемое в производстве и измеряемое в машино-часах (тема 2, п. 2.2). В свою очередь количество труда измеряется в человеко-часах.

Как правило, рассматриваемая производственная функция выглядит так:

A, α, β — заданные параметры. Параметр А — это коэффициент совокупной производительности факторов производства. Он отражает влияние технического прогресса на производство: если производитель внедряет передовые технологии, величина А возрастает, т.е. выпуск увеличивается при прежних количествах труда и капитала. Параметры α и β — это коэффициенты эластичности выпуска соответственно по капиталу и труду. Иными словами, они показывают, на сколько процентов изменяется выпуск при изменении капитала (труда) на один процент. Коэффициенты эти положительны, но меньше единицы. Последнее означает, что при росте труда при постоянном капитале (либо капитала при постоянном труде) на один процент производство возрастает в меньшей степени.

Построение изокванты

Приведенная производственная функция говорит о том, что производитель может заменять труд капитаном и капитал трудом, оставляя выпуск неизменным. Например, в сельском хозяйстве развитых стран труд является высокомеханизированным, т.е. на одного работника приходится много машин (капитала). Напротив, в развивающихся странах тот же объем производства достигается за счет большого количества труда при незначительном капитале. Это позволяет построить изокванту (рис. 8.1).

Изокванта (линия равного продукта) отражает все комбинации двух факторов производства (труда и капитала), при которых выпуск остается неизменным. На рис. 8.1 рядом с изоквантой проставлен соответствующий ей выпуск. Так, выпуск , достижим при использовании труда и капитала или с использованием труда и капитана.

Рис. 8.1. Изокванта

Возможны и другие комбинации объемов труда и капитала, минимально необходимых для достижения данного выпуска.

Все комбинации ресурсов, соответствующих данной изокванте, отражают технически эффективные способы производства. Способ производства A является технически эффективным в сравнении со способом В , если он требует использования хотя бы одного ресурса в меньшем количестве, а всех остальных не в больших количествах в сравнении со способом В . Соответственно способ В является технически неэффективным в сравнении с А. Технически неэффективные способы производства не используются рациональными предпринимателями и не относятся к производственной функции.

Из вышесказанного вытекает, что изокванта не может иметь положительный наклон, как это показано на рис. 8.2.

Отрезок, выделенный пунктиром, отражает все технически неэффективные способы производства. В частности, в сравнении со способом А способ В для обеспечения одинакового выпуска () требует того же количества капитала, но большего количества труда. Очевидно, поэтому, что способ B не является рациональным и не может приниматься в расчет.

На основе изокванты можно определить предельную норму технической замены.

Предельная норма технической замены фактора Y фактором X (MRTS XY) — это количество фактора (например, капитала), от которого можно отказаться при увеличении фактора (например, труда) на 1 ед., чтобы выпуск не изменился (остаемся на прежней изокванте).

Рис. 8.2. Технически эффективное и неэффективное производство

Следовательно, предельная норма технической замены капитала трудом исчисляется по формуле

При бесконечно малых измененияхL и K она составляет

Таким образом, предельная норма технической замены есть производная функции изокванты в данной точке. Геометрически она представляет собой наклон изокванты (рис. 8.3).

Рис. 8.3. Предельная норма технической замены

При движении сверху — вниз вдоль изокванты предельная норма технической замены все время убывает, о чем говорит уменьшающийся наклон изокванты.

Если же производитель увеличивает и труд, и капитал, то это позволяет ему достичь большего выпуска, т.е. перейти на более высокую изокванту (q 2). Изокванта, расположенная правее и выше предыдущей, соответствует большему объему выпуска. Совокупность изоквант образует карту изоквант (рис. 8.4).

Рис. 8.4. Карта изоквант

Особые случаи изоквант

Напомним, что приведенные соответствуют производственной функции вида . Но бывают и другие производственные функции. Рассмотрим случай, когда имеет место совершенная замещаемость факторов производства. Допустим, например, что на складских работах можно использовать квалифицированных и неквалифицированных грузчиков, причем производительность квалифицированного грузчика в N раз выше, чем неквалифицированного. Это означает, что мы можем заменить любое количество квалифицированных грузчиков неквалифицированными в соотношении N к одному. И наоборот, можно заменить N неквалифицированных грузчиков одним квалифицированным.

Производственная функция при этом имеет вид: где — число квалифицированных рабочих, — число неквалифицированных рабочих, а и b — постоянные параметры, отражающие производительность соответственно одного квалифицированного и одного неквалифицированного рабочего. Соотношение коэффициентов а и b — предельная норма технической замены неквалифицированных грузчиков квалифицированными. Она постоянна и равнаN : MRTS xy = a/b = N.

Пусть, например, квалифицированный грузчик в состоянии в единицу времени обработать 3 т груза (это будет коэффициент а в производственной функции), а неквалифицированный — только 1 т (коэффициент b). Значит, работодатель может отказаться от трех неквалифицированных грузчиков, дополнительно нанимая одного квалифицированного грузчика, чтобы выпуск (общий вес обработанного груза) при этом остался прежним.

Изокванта в данном случае является линейной (рис. 8.5).

Рис. 8.5. Изокванта при совершенной заменяемости факторов

Тангенс угла наклона изокванты равен предельной норме технической замены неквалифицированных грузчиков квалифицированными.

Еще одна производственная функция — функция Леонтьева. Она предполагает жесткую дополняемость факторов производства. Это означает, что факторы могут использоваться только в строго определенной пропорции, нарушение которой технологически невозможно. Например, авиационный рейс может быть нормально осуществлен при наличии как минимум одного самолета и пяти членов экипажа. При этом нельзя увеличивать самолето-часы (капитал), одновременно сокращая человеко-часы (труд), и наоборот, и сохранять неизменным выпуск. Изокванты в данном случае имеют вид прямых углов, т.е. предельные нормы технической замены равны нулю (рис. 8.6). В то же время можно увеличивать выпуск (количество рейсов), увеличивая в одной и той же пропорции и труд, и капитал. Графически это означает переход на более высокую изокванту.

Рис. 8.6. Изокванты в случае жесткой дополняемости факторов производства

Аналитически такая производственная функция имеет вид: q = min {aK; bL} , где а иb — постоянные коэффициенты, отражающие производительность соответственно капитала и труда. Соотношение этих коэффициентов определяет пропорцию использования капитала и труда.

В нашем примере с авиарейсом производственная функция выглядит так: q = min{1K; 0,2L} . Дело в том, что производительность капитала здесь составляет один рейс на один самолет, а производительность труда — один рейс на пять человек или 0,2 рейса на одного человека. Если авиакомпания располагает самолетным парком в 10 машин и имеет 40 человек летного персонала, то ее максимальный выпуск составит:q = min{ 1 х 8; 0,2 х 40} = 8 рейсов. Два самолета при этом будут простаивать на земле из-за нехватки персонала.

Взглянем, наконец, на производственную функцию, предполагающую существование ограниченного числа производственных технологий для производства заданного количества продукции. Каждой из них соответствует определенное состояние труда и капитала. В результате мы имеем ряд опорных точек в пространстве «труд-капитал», соединив которые, получаем ломаную изокванту (рис. 8.7).

Рис. 8.7. Ломаные изокванты при наличии ограниченного числа производственных методов

На рисунке видно, что выпуск продукции в объемеq 1 можно получить при четырех комбинациях труда и капитала, соответствующих точкам А, B, С иD . Возможны также и промежуточные комбинации, достижимые в тех случаях, когда предприятие совместно использует две технологии для получения определенного совокупного выпуска. Как всегда, увеличив количества труда и капитала, мы переходим на более высокую изокванту.

Производством называется любая человеческая деятельность по преобразованию ограниченных ресурсов - материальных, трудовых, природных - в готовую продукцию.Производственная функция характеризует зависимость между количеством используемых ресурсов (факторов производства) и максимально возможным объемом выпуска, который может быть достигнут при условии, что все имеющиеся ресурсы используются наиболее рациональным образом.

Производственная функция обладает следующими свойствами:

3. Чем длиннее временной период, тем большее количество ресурсов может быть пересмотрено. В этой связи различают мгновенный, короткий и длительный периоды.Мгновенный период - период, когда все ресурсы являются фиксированными.Короткий период - период, когда, по крайней мере, один ресурс является фиксированным.Длительный период - период, когда все ресурсы являются переменными.

Как правило, рассматриваемая производственная функция выглядит так:

A, α, β - заданные параметры. ПараметрА - это коэффициент совокупной производительности факторов производства. Он отражает влияние технического прогресса на производство: если производитель внедряет передовые технологии, величинаА возрастает, т.е. выпуск увеличивается при прежних количествах труда и капитала. Параметры α и β - это коэффициенты эластичности выпуска соответственно по капиталу и труду. Иными словами, они показывают, на сколько процентов изменяется выпуск при изменении капитала (труда) на один процент. Коэффициенты эти положительны, но меньше единицы. Последнее означает, что при росте труда при постоянном капитале (либо капитала при постоянном труде) на один процент производство возрастает в меньшей степени.

Рис. 8.1. Изокванта

Если отложить по горизонтальной оси количество единиц труда, а по вертикальной - количество единиц капитала, затем обозначить точки, в которых фирма выпускает один и тот же объем, то получится кривая, представленная на рисунке 14.1 и называемая изоквантой.

Каждая точка изокванты соответствует комбинации ресурсов, при которой фирма выпускает заданный объем продукции.

Набор изоквант, характеризующий данную производственную функцию, называется картой изоквант .

Свойства изоквант

Свойства стандартных изоквант аналогичны характеристикам кривых безразличия:

1. Изокванта, так же как и кривая безразличия, является непрерывной функцией, а не набором дискретных точек.

2. Для любого заданного объема выпуска может быть проведена своя изокванта, отражающая различные комбинации экономических ресурсов, обеспечивающих производителю одинаковый объем производства (изокванты, описывающие данную производственную функцию, никогда не пересекаются).

3. Изокванты не имеют участков возрастания (Если бы участок возрастания существовал, то при движении вдоль него увеличивалось бы количество как первого, так и второго ресурса).

Понятие рынка. В самом общем виде рынок - это система экономических отношений, складывающихся в процессе производства, обращения и распределения товаров, а также движения денежных средств. Рынок развивается вместе с развитием товарного производства, вовлекая в обмен не только произведенные продукты, но и продукты, не являющиеся результатом труда (земля, дикорастущий лес). В условиях господства рыночных связей все отношения людей в обществе охвачены куплей-продажей.

Более конкретно рынок представляет сферу обмена (обращения), в которой

осуществляется связь между агентами общественного производства в форме

купли-продажи, т. е. связь производителей и потребителей, производства и

потребления.

Субъектами рынка являются продавцы и покупатели. В качестве продавцов

и покупателей выступают домохозяйства (в составе одного или нескольких

лиц), фирмы (предприятия), государство. Большинство субъектов рынка

действуют одновременно и как покупатели, и как продавцы. Все хозяйственные

субъекты тесно взаимодействуют на рынке, образуя взаимосвязанный «поток»

купли-продажи.

Фирма – это самостоятельный экономический субъект, занимающийся коммерческой и производственной деятельностью и обладающий обособленным имуществом.

Фирма имеет следующие признаки:

представляет собой экономически обособленную, самостоятельную хозяйственную единицу;
юридически зарегистрирована и в этом плане относительно независима: имеет собственный бюджет, устав и бизнес-план
является своеобразным посредником в производстве
любая фирма самостоятельно принимает все решения, связанные с ее функционированием, поэтому можно говорить о ее производственной и коммерческой независимости
целями фирмы считаются получение прибыли и минимизация издержек.

Фирма как самостоятельный экономический субъект выполняет ряд важных функций.

1. Производственная функция подразумевает способность фирмы организовать производство по изготовлению товаров и услуг.

2. Коммерческая функция обеспечивает материально-техническое снабжение, сбыт готовой продукции, а также маркетинг и рекламу.

3. Финансовая функция: привлечение инвестиций и получение кредитов, расчеты внутри фирмы и с партнерами, выпуск ценных бумаг, уплата налогов.

4. Счетная функция: составление бизнес-плана, балансов и смет, проведение инвентаризации и отчетов в органы государственной статистики и налогов.

5. Административная функция – функция управления, включающая организацию, планирование и контроль над деятельностью в целом.

6. Правовая функция осуществляется через соблюдение законов, норм и стандартов, а также через выполнение мер по охране факторов производства.

Нельзя отождествлять эластичность и наклон кривой спроса, ибо это разные понятия. Различия между ними можно проиллюстрировать на эластичности прямой линии спроса (рис. 13.1).

На рис. 13.1 мы видим, что прямая линия спроса в каждой точке имеет одинаковый наклон. Однако выше середины спрос эластичный, ниже середины спрос неэластичный. В точке, расположенной посередине, эластичность спроса равна единице.

Об эластичности спроса можно судить по наклону только вертикальной или горизонтальной линии.

Рис. 13.1. Эластичность и наклон - разные понятия

Наклон кривой спроса – его пологость или крутизна - зависит от абсолютных изменений цены и количества продукции, тогда как теория эластичности имеет дело с относительными, или процентными, изменениями цены и количества. Различие между наклоном кривой спроса и его эластичностью можно также вполне уяснить себе, подсчитав показатель эластичности для различных комбинаций цены и количества продукции, расположенных на прямолинейной кривой спроса. Вы обнаружите, что, хотянаклон, очевидно, остается неизменным на всем протяжении кривой, спрос является эластичным на отрезке высоких цен и неэластичным - на отрезке низких цен.

ЭЛАСТИЧНОСТЬ СПРОСА ПО ДОХОДУ - мера чувствительности спроса к изменению дохода; отражает относительное изменение спроса на какое-либо благо вследствие изменения дохода потребителя.

Эластичность спроса по доходу выступает в следующих основных формах:

· положительная, предполагающая, что увеличение дохода (при прочих равных условиях) сопровождается ростом объемов спроса. Положительная форма эластичности спроса по доходу относится к нормальным товарам, в частности, к товарам роскоши;

· отрицательная, предполагающая сокращение объема спроса с увеличением дохода, т. е. существование обратного соотношения между доходом и объемом покупок. Эта форма эластичности распространяется на некачественные блага;

· нулевая, означающая, что объем спроса нечувствителен к изменению дохода. Это блага, потребление которых нечувствительно к доходам. К ним, в частности, относятся товары первой необходимости.

Эластичность спроса по доходу зависит от следующих факторов:

· от значимости того или иного блага для бюджета семьи. Чем больше благо нужно семье, тем меньше его эластичность;

· является ли данное благо предметом роскоши или первой необходимости. Для первого блага эластичность выше, чем для последнего;

· от консерватизма спроса. При увеличении дохода потребитель не сразу переходит на потребление более дорогих благ.

Необходимо отметить, что для потребителей, имеющих разный уровень дохода, одни и те же товары могут относиться или к предметам роскоши, или к предметам первой необходимости. Подобная оценка благ может иметь место и для одного и того же индивида, когда у него изменяется уровень дохода.

На рис. 15.1 изображены графики зависимости QD от I при различных значениях эластичности спроса по доходу.

Рис. 15.1. Эластичность спроса по доходу: а) качественные неэластичные блага; б) качественные эластичные блага; в) некачественные блага

Сделаем краткий комментарий к рис. 15.1.

Спрос на неэластичные блага увеличивается с ростом дохода лишь при низких доходах домохозяйств. Затем начиная с некоторого уровня I1 спрос на эти блага начинает сокращаться.

Спрос на эластичные блага (например предметы роскоши) до некоторого уровня I2 отсутствует, поскольку домохозяйства не имеют возможности приобретать их, а затем увеличивается с увеличением дохода.

Спрос на некачественные блага вначале увеличивается, но начиная со значения I3 сокращается.

Похожая информация.

Производственная функция

Наименование параметра	Значение
Тема статьи:	Производственная функция
Рубрика (тематическая категория)	Экономика

Производственная функция - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Производственная функция" 2017, 2018.

- Факторы производства и их взаимодействие. Производственная функция

В конкретных условиях производства товаров и услуг необходимы три основополагающих фактора: рабочая сила (живой труд), капитал (затраты овеществленного труда) и природные ресурсы. Техническую зависимость между различным сочетанием количества применяемых... .

- ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ. ЗАКОН УБЫВАЮЩЕЙ ОТДАЧИ. ЭФФЕКТ МАСШТАБА

Производственная функция – это зависимость между набором факторов производства и максимально возможным объемом продукта, производимым с помощью данного набора факторов. Производственная функция всегда конкретна, т.е. предназначается для данной технологии. Новая... .

- Производственная функция. Закон убывающей отдачи.

Предприятие как хозяйствующий субъект. Организационно-правовые формы предприятий. Фирма (предприятие) – основная деловая единица рыночной экономики, которая: 1)формирует спрос на ресурсы, 2)производит и предлагает готовые товары и услуги, 3)осуществляет... .

- Производственная функция.

План. Тема 5. Теория производства. Предприятие (фирма) в рыночной экономике. Производственная функция. Экономические издержки. Издержки производства в краткосрочном периоде. Издержки производства в долгосрочном периоде. Четыре модели рынка. Чистая... .

- Производственная функция.

Технология производства и технологические ограничения. Производство – процесс использования рабочей силы и оборудования в сочетании с природными ресурсами и материалами для изготовления необходимых товаров и услуг. Факторы процесса производства... .

- Производственная функция как матрица.

Технически эффективная область производства Имеются два общих типа технического прогресса: нейтральный и ненейтральный. Нейтральный технический прогресс выражается в изменении эффективности технологии и уровня технологической отдачи на единицу масштаба... .

- Производственная функция и равновесие производителя

Фактора в процессе перехода к новым технологиям В заключение еще несколько слов о взаимосвязи предельного и среднего продукта. Предельный продукт для какой-либо точки на кривой совокупного выпуска равен тангенсу угла наклона касательной к кривой в этой точке. Для...

Производственными функциями называются экономико-математические модели, связывающие переменные величины затрат с величинами выпуска. Понятия "затраты" и "выпуск" имеют отношение, как правило, к процессу производства продукции; это объясняет происхождение названия данного типа моделей. Если рассматривается экономика региона или страны в целом, то разрабатываются агрегированные производственные функции, в которых выпуском служит показатель совокупного общественного продукта. Частными случаями производственных функций являются функции выпуска (зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов), функции издержек (связь объема продукции и издержек производства), функции капитальных затрат (зависимость капитальных вложений от производственной мощности создаваемых предприятий) и др.

Широко используются мультипликативные формы представления производственных функций. В самом общем виде мультипликативная производственная функция записывается следующим образом:

Здесь коэффициент А определяет размерность величин и зависит от избранных единиц измерения затрат и выпуска. Сомножители X i представляют влияющие факторы и могут иметь различное экономическое содержание в зависимости от того, какие факторы влияют на величину выпуска Р. Степенные параметры α, β, ..., γ показывают ту долю в приросте конечного продукта, которую вносит каждый из факторов-сомножителей; они называются коэффициентами эластичности производства относительно затрат соответствующего ресурса и показывают, на сколько процентов возрастает выпуск при увеличении затрат данного ресурса на один процент.

Сумма коэффициентов эластичности имеет важное значение для характеристики свойств производственной функции. Предположим, что затраты всех видов ресурсов возрастают в k раз. Тогда величина выпуска в соответствии с (7.16) составит

Следовательно, если , то при увеличении затрат в к раз выпуск возрастает также в k раз; производственная функция в этом случае является линейно однородной. При Е > 1 такое же увеличение затрат приведет к росту выпуска более чем в к раз, а при Е < 1 – менее чем в к раз (так называемый эффект масштаба).

В качестве примера мультипликативных производственных функций можно привести широко известную производственную функцию Кобба – Дугласа:

N – национальный доход;

А – коэффициент размерности;

L, К – объемы приложенного труда и основного капитала соответственно;

α и β – коэффициенты эластичности национального дохода но труду L и капиталу К.

Эта функция применялась американскими исследователями при анализе развития экономики США в 30-х годах прошлого века.

Эффективность использования ресурсов характеризуется двумя основными показателями: средняя (абсолютная ) эффективность ресурса

и предельная эффективность ресурса

Экономический смысл величины μi очевиден; в зависимости от типа ресурса она характеризует такие показатели, как производительность труда, фондоотдача и др. Величина v i показывает предельный прирост выпуска продукта при увеличении затрат i-го ресурса на "малую единицу" (на 1 руб., на 1 нормо-час и т.д.).

Множество точек n -мерного пространства факторов производства (ресурсов), удовлетворяющих условию постоянства выпуска Р (Х ) = С, называется изоквантой. Важнейшими свойствами изоквант являются следующие: изокванты не пересекаются друг с другом; большей величине выпуска соответствует более удаленная от начала координат изокванта; если все ресурсы абсолютно необходимы для производства, то изокванты не имеют общих точек с координатными гиперплоскостями и с осями координат.

В материальном производстве большое значение приобретает понятие взаимозаменяемости ресурсов. В теории производственных функций возможности замещения ресурсов характеризуют производственную функцию с точки зрения различных комбинаций затрат ресурсов, приводящих к одному и тому же уровню выпуска продукта. Поясним это на условном примере. Пусть производство определенного количества сельхозпродукции требует 10 работников и 2 т удобрений, а при внесении в почву только 1 т удобрений потребуется уже 12 работников для получения того же урожая. Здесь 1 т удобрений (первый ресурс) заменяется трудом двух работников (второй ресурс).

Условия эквивалентной взаимозаменяемости ресурсов в некоторой точке вытекают из равенства dP = 0:

Отсюда предельная норма замещения (эквивалентной заменяемости) каких-либо двух ресурсов k и l задается формулой

(7.20)

Предельная норма замещения как показатель производственной функции характеризует относительную эффективность допускающих взаимную замену факторов производства при движении вдоль изокванты. Например, для функции Кобба – Дугласа предельная норма замещения затрат труда затратами капитала, т.е. производственными фондами, имеет вид

(7.21)

Знак минус в правых частях формул (7.20) и (7.21) означает, что при фиксированном объеме производства увеличению одного из взаимозаменяемых ресурсов соответствует уменьшение другого.

Пример 7.1. Рассмотрим пример производственной функции Кобба – Дугласа, для которой известны коэффициенты эластичности выпуска по труду и капиталу: α = 0,3; β = 0,7, а также затраты труда и капитала: L = 30 тыс. чел.; К = 490 млн руб. В этих условиях предельная норма замещения производственных фондов затратами труда равна

Таким образом, в этом условном примере в тех точках двухмерного пространства (L, К ), где ресурсы труда и капитала взаимозаменяемы, уменьшение производственных фондов на 7 тыс. руб. может быть компенсировано увеличением затрат труда на 1 чел., и наоборот.

С понятием предельной нормы замещения связано понятие эластичности замещения ресурсов. Коэффициент эластичности замещения характеризует отношение относительного изменения соотношения затрат ресурсов k и l к относительному изменению предельной нормы замещения этих ресурсов:

Этот коэффициент показывает, на сколько процентов должно измениться отношение между взаимозаменяемыми ресурсами, чтобы предельная норма замещения этих ресурсов изменилась на 1%. Чем выше эластичность замены ресурсов, тем в более широких пределах они могут заменять друг друга. При бесконечной эластичности () не существует границ взаимозаменяемости ресурсов. При нулевой эластичности замещения () возможность замены отсутствует; в этом случае ресурсы взаимодополняют друг друга и обязательно должны использоваться в определенном соотношении.

Рассмотрим в дополнение к функции Кобба – Дугласа некоторые другие производственные функции, широко используемые в качестве эконометрических моделей. Линейная производственная функция имеет вид

– оцениваемые параметры модели;

, – факторы производства, взаимозамещаемые в любых пропорциях (эластичность замещения ).

Изокванты этой производственной функции образуют семейство параллельных гиперплоскостей в неотрицательном ортанте n -мерного пространства факторов.

Во многих исследованиях применяются производственные функции с постоянной эластичностью замещения .

(7.23)

Производственная функция (7.23) является однородной функцией степени п. Все эластичности замещения ресурсов равны между собой:

вследствие этого данная функция называется функцией с постоянной эластичностью замещения (функцией CES ). Если , эластичность замещенияменьше единицы; если , величина больше единицы; при функция CES преобразуется в мультипликативную степенную производственную функцию (7.16).

Двухфакторная функция CES имеет вид

При п = 1 и р = 0 эта функция преобразуется в функцию типа функции Кобба – Дугласа (7.17).

Кроме производственных функций с постоянными коэффициентами эластичности выпуска от ресурсов и постоянной эластичностью замещения ресурсов в экономическом анализе и прогнозировании применяются и функции более общего вида. В качестве примера можно привести функцию

Эта функция отличается от функции Кобба – Дугласа множителем , где z = K/L – фондовооруженность (капиталовооруженность) труда, и в ней эластичность замещения принимает различные значения в зависимости от уровня капиталовооруженности труда. В связи с этим данная функция относится к типу производственных функций с переменной эластичностью замещения (функции VES ).

Перейдем к рассмотрению ряда вопросов практического использования производственных функций в экономи-

ческом анализе. Макроэкономические производственные функции применяются как инструмент прогнозирования объемов валовой продукции, конечного продукта и национального дохода, для анализа сравнительной эффективности факторов производства. Так, важным условием роста производства и производительности труда является увеличение фондовооруженности труда. Если для функции Кобба – Дугласа

задать условие линейной однородности , то из соотношения между производительностью труда (P/L ) и фондовооруженностью труда (K/L )

(7.24)

следует, что производительность труда растет медленнее фондовооруженности, так как . Этот вывод, как и многие другие результаты анализа на основе производственных функций, всегда справедлив для статических производственных функций, не учитывающих совершенствования технических средств труда и качественных характеристик используемых ресурсов, т.е. без учета технического прогресса. Для оценки параметров модели (7.24) ее линеаризируют путем логарифмирования:

Наряду с количественным увеличением используемых объемов ресурсов (трудовых ресурсов, производственных фондов и т.д.) важнейшим фактором роста производства служит научно-технический прогресс, заключающийся в совершенствовании технических средств и технологии, повышении квалификации работающих, улучшении организации управления производством. Статические эконометрические модели, в том числе и статические производственные функции, не учитывают фактор технического прогресса, поэтому используются динамические макроэкономические производственные функции, параметры которых определяются путем обработки временных рядов. Технический прогресс обычно отражают в производственных функциях в виде тенденции развития производства, зависящей от времени.

Например, функция Кобба – Дугласа с учетом фактора технического прогресса приобретает следующий вид:

В модели (7.25) множитель отражает тенденцию развития производства, связанную с научно-техническим прогрессом. В этом множителе t – время, а λ – темп прироста выпуска продукции благодаря техническому прогрессу. При практическом использовании модели (7.25) для оценки ее параметров проводится линеаризация путем логарифмирования, аналогично модели (7.24):

Следует особо отметить, что при построении производственных функций, как и для всех многофакторных эконометрических моделей, весьма важным моментом является правильный отбор влияющих факторов . В частности, необходимо избавляться от явлений мультиколлинеарности факторов и явлений автокорреляции внутри каждого из них. Этот вопрос детально описан в параграфе 7.1 данной главы. При оценке параметров производственных функций на основе статистических наблюдений, включая временные ряды, основным методом является метод наименьших квадратов.

Рассмотрим применение производственных функций для экономического анализа и прогнозирования на условном примере из области экономики труда.

Пример 7.2. Пусть объем выпуска продукции отрасли характеризуется производственной функцией типа функции Кобба – Дугласа:

Р – объем выпуска продукции (млн руб.);

Т – численность работников отрасли (тыс. чел.);

Ф – среднегодовая стоимость основных производственных фондов (млн руб.).

Допустим, параметры этой производственной функции известны и равны: а = 0,3; β = 0,7; коэффициент размерности А = = 0,6 (тыс. руб./чел.)0,3. Известна также величина среднегодовой стоимости основных производственных фондов Ф = 900 млн руб. В этих условиях требуется:

1) определить количество работников отрасли, необходимое для выпуска продукции в объеме 300 млн руб.;
2) выяснить, как изменится выпуск продукции при увеличении численности работающих па 1% и тех же объемах производственных фондов;
3) оценить взаимозаменяемость материальных и трудовых ресурсов.

Чтобы ответить на вопрос первого задания, линеаризируем эту производственную функцию путем логарифмирования по натуральному основанию;

откуда следует, что

Подставляя исходные данные, получим

Отсюда (тыс. чел.).

Рассмотрим второе задание. Так как , данная производственная функция является линейно однородной; в соответствии с этим коэффициенты аир являются коэффициентами эластичности выпуска по труду и фондам соответственно. Следовательно, увеличение числа работающих отрасли на 1% при неизменном объеме производственных фондов приведет к росту выпуска продукции на 0,3%, т.е. выпуск составит 300,9 млн руб.

Переходя к третьему заданию, рассчитаем предельную норму замещения производственных фондов трудовыми ресурсами. В соответствии с формулой (7.21)

Таким образом, при условии взаимозаменяемости ресурсов для обеспечения постоянства выпуска (т.е. при движении по изокванте) уменьшение производственных фондов отрасли на 3,08 тыс. руб. может быть возмещено увеличением трудовых ресурсов на 1 чел., и наоборот.